가역층

수학에서 가역층(可逆層, 영어: invertible sheaf)은 텐서곱에 대한 역원이 존재하는 연접층이다.

정의

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 연접층 $S$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 $S$를 가역층이라고 한다.

• $S$는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 연접층 $T$에 대하여, $S\otimes S^{-1}\cong {\mathcal {O}}_{X}$이다.
• $S$는 1차원 국소 자유 가군층이다.

스킴을 통한 정의

스킴 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)의 단면으로 주어진다.

$X$가 스킴이라고 하자. $X$ 위의 대수적 선다발은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 스킴 $E$
• 전사 함수인 스킴 사상 $\pi \colon E\to X$
• $X$의 어떤 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$
• 각 $U\in {\mathcal {U}}$에 대하여, 스킴 동형 사상 $\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{1}=(\operatorname {Spec} \mathbb {Z} [x])\times U$

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $U,V\in {\mathcal {U}}$ 및 아핀 열린 부분 스킴 $\operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap V$에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 $R[x]\to R[x]$은 어떤 가역원 $m\in \operatorname {Unit} (R)$에 대하여 $r\mapsto r\forall r\in R\subseteq R[x]$, $x\mapsto mx$의 꼴로 주어지는 가환환 동형 사상이다.

같은 스킴 $X$ 위의 두 대수적 선다발 $(E,\pi ,{\mathcal {U}})$, $(E',\pi ',{\mathcal {U}}')$ 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $X$-스킴의 동형 사상 $\iota \colon E/X\to E'/X$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $(E,\pi ,{\mathcal {U}}\cap {\mathcal {U}}')$은 대수적 선다발을 이룬다.

그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.

성질

호몰로지와의 관계

환 달린 공간 $X$ 위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류 $\operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다. $X$ 위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 피카르 군 $\operatorname {Pic} (X)$이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형

$\operatorname {Pic} (X)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$

이 존재한다.

인자와의 관계

임의의 국소 뇌터 스킴 $X$ 위의 카르티에 인자 $D$가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, 카르티에 인자 $D\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$가 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$에서 $f\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times },U_{i})$로 표현된다고 하자. (여기서 ${\mathcal {K}}_{X}$는 유리 함수층이다.) 그렇다면, $D$에 대응되는 가역층 ${\mathcal {O}}_{X}(D)\subseteq {\mathcal {K}}_{X}$은 $(f_{i}^{-1})_{i\in I}$로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자 $D$에 대하여 ${\mathcal {O}}_{X}(D)\cong {\mathcal {O}}_{X}$이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형

$\operatorname {CaCl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)$

을 정의한다.

뇌터 가환환 $K$ 위의 사영 스킴 $X$가 주어졌다고 하자. ($X$는 축소 스킴일 필요는 없다.) 그렇다면, $X$ 위의 모든 가역층은 카르티에 인자로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 피카르 군은 카르티에 인자류군과 동형이다. 반면, 임의의 뇌터 스킴의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다.

외부 링크

• “Invertible sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.