각운동량 연산자

양자역학에서 각운동량 연산자(角運動量演算子, 영어: angular momentum operator)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 $J_{x}$, $J_{y}$, $J_{z}$이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, orbital angular momentum)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량(spin angular momentum)이라고 한다.

정의

각운동량 연산자 $\mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})$는 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 일련의 연산자를 말한다.

$\left[J_{i},J_{j}\right]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$.

여기서 $\epsilon _{ijk}$는 레비치비타 기호다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

$\left[J_{x},J_{y}\right]=i\hbar J_{z}$

$\left[J_{y},J_{z}\right]=i\hbar J_{x}$

$\left[J_{z},J_{x}\right]=i\hbar J_{y}$.

각운동량 성분 사이에는 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.

성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다.

$\left[J_{i},\mathbf {J} ^{2}\right]=0$.

위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.

각운동량 사다리 연산자

각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자 $J_{+}$, $J_{-}$를 정의할 수 있다.

$J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}$.

이 두 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.

각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.

$J_{+}J_{-}+J_{-}J_{+}=2(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})=2(\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2})$

$J_{+}J_{-}=\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}$

$J_{-}J_{+}=\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z}$

이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환 관계로 아래와 같은 관계가 있다.

$\left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}$

$\left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }$

$\left[\mathbf {J} ^{2},J_{\pm }\right]=0$

각운동량의 고윳값과 고유함수

위의 교환 관계에 따라, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로 $J_{z}$를 택한다. 자세한 계산은 생략하고 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다.

$\mathbf {J} ^{2}|j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m\rangle$

$\mathbf {J} _{z}|j,m\rangle =\hbar m|j,m\rangle$.

$m$은 $-j,-j+1,-j+2,\cdots ,j-1,j$ 중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우, $j$ (통상적으로 $l$로 표기)는 음이 아닌 정수($0,1,2,\dots$)이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는 $j$는 음이 아닌 정수 또는 반정수({lang|half-integer}) $j=0,1/2,1,3/2,2,\dotsc$이다.

고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의 $m$값이 변하게 된다.

$J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle$

$J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle$

궤도 각운동량

궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량 $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$를 양자화한 연산자로, 다음과 같다.

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$.

여기서,

$\mathbf {L}$: 궤도 각운동량 연산자

$\mathbf {r}$: 위치 연산자

$\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$: 운동량 연산자

이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다.

위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가 $\textstyle \mathbf {p} ={h \over i}\nabla$가 되므로 궤도 각운동량은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$\mathbf {L} ={h \over i}\mathbf {r} \times \nabla$

정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱 $\mathbf {L} ^{2}$과 데카르트 좌표계에서의 성분에 대한 연산자 $L_{x}$ , $L_{y}$ , $L_{z}$가 더 자주 쓰인다.

$L_{x}=-i\hbar (y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y})$

$L_{y}=-i\hbar (z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z})$

$L_{z}=-i\hbar (x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x})$

$\mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$.

이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.

스핀 각운동량

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참고 문헌

• Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
• Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5

같이 보기

• 각운동량
• 구면 조화 함수
• 라플라스-룽게-렌츠 벡터
• 클렙슈-고르단 계수
• 퍼지 구