갈루아 이론에서 갈루아 확대(Galois擴大, 영어: Galois extension)는 갈루아 군이 잘 정의될 수 있는 체의 확대이다.

정의 편집

갈루아 확대는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.

성질 편집

유한 확대  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.

  •  는 갈루아 확대이다.
  •  정규 분해 가능 확대이다.
  •  은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식  분해체이다.
  •  이다. 즉, 체의 확대의 차수  는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

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유리수체  의 확대들을 생각하자.

  •  는 갈루아 확대이다.
  •  정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는  의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
  •  대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율  초월수이기 때문이다.

(유리수체는 완전체이므로, 유리수의 모든 대수적 확대분해 가능 확대이다.)

참고 문헌 편집

  • Bewersdorff, Jörg (2006). 《Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. 
  • Lang, Serge (1994). 《Algebraic Number Theory》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
  • Rotman, Joseph (1998). 《Galois Theory》 (영어) 2판. Springer. ISBN 0-387-98541-7. 
  • Völklein, Helmut (1996). 《Groups as Galois groups: an introduction》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5. 
  • Funkhouser, H. Gray (1930). “A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273. 

외부 링크 편집