기하학 에서, 구 (球, sphere)는 한 점과의 거리 가 같은, '모든 점에서 동일한 거리를 가지는 3차원 공간 위의 점들의 집합'이자 폐곡선으로 둘러싸인 2차원 평면(폐곡면 )이다. '구'라는 이름은 공 이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 공 은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.
구 데카르트 좌표계 에서는 중심 이 (a , b , c ) 이고 반지름이 r 인 구를
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}} 라는 방정식 으로 나타낼 수 있다. 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π ] , φ ∈ [0, π ] 를 이용하여
x = a + r cos θ cos φ {\displaystyle x=a+r\cos \theta \cos \varphi }
y = b + r sin θ cos φ {\displaystyle y=b+r\sin \theta \cos \varphi }
z = c + r sin φ {\displaystyle z=c+r\sin \varphi } 로 표현할 수도 있다.
구의 부피
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단면적의 적분을 이용한 증명
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원의 방정식 x 2 + y 2 = r 2 , ( y ≥ 0 ) {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},(y\geq 0)} 을 이용하여 구의 부피를 구해보자.
원의 방정식을 y ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} 로 한정하면 함수 y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} 를 만들 수 있다.
반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.
V = ∫ 0 r A ( x ) d x {\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx}
단면적 함수 A(x)는 함수 y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} 의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 π {\displaystyle \pi } 를 곱한 값이므로
A ( x ) = π ( r 2 − x 2 ) {\displaystyle A(x)=\pi (r^{2}-x^{2})} 이다.
따라서 V = ∫ 0 r A ( x ) d x = ∫ 0 r π ( r 2 − x 2 ) d x {\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}
= [ π r 2 x ] 0 r − [ π 1 3 x 3 ] 0 r = π r 3 − 1 3 π r 3 = 2 3 π r 3 {\displaystyle =[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}} 이다.
구의 부피는 2 V {\displaystyle 2V} 이므로 반지름이 r {\displaystyle r} 인 구의 부피 는 4 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 이다.
1사분면 위의 원 y = r 2 − x 2 ( x ≥ 0 ) {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}(x\geq 0)} 을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는
V = ∫ 0 r 2 π x r 2 − x 2 d x {\displaystyle V=\int _{0}^{r}2\pi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx}
= − 2 3 π [ ( r 2 − x 2 ) 3 2 ] 0 r = − 2 3 π ( 0 − r 3 ) = 2 3 π r 3 {\displaystyle =-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}
따라서 구의 부피는 2 V = 4 3 π r 3 {\displaystyle 2V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 이다.
원의 방정식 x 2 + y 2 = r 2 ( y ≥ 0 ) {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}(y\geq 0)} 의 그래프는 함수 y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} 의 그래프이므로, y = f ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle y=f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} 라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.
먼저, 질량 중심 좌표 ( x ¯ , y ¯ ) {\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})} 를 구한다.
함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} 의 좌표는 0이다.
y ¯ = 1 2 ( ∫ − r r r 2 − x 2 d x ) 1 2 π r 2 = ( ∫ − r r r 2 − x 2 d x ) π r 2 {\displaystyle {\bar {y}}={\frac {{\frac {1}{2}}(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{{\frac {1}{2}}\pi r^{2}}}={\frac {(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{\pi r^{2}}}}
= 4 r 3 3 π r 2 = 4 r 3 π {\displaystyle ={\frac {\frac {4r^{3}}{3}}{\pi r^{2}}}={\frac {4r}{3\pi }}} 이므로
질량 중심 좌표 ( x ¯ , y ¯ ) = ( 0 , 4 r 3 π ) {\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})=(0,{\frac {4r}{3\pi }})} 이다.
파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는
V = 2 π y ¯ A {\displaystyle V=2\pi {\bar {y}}\mathrm {A} } (A는 영역의 넓이) 이므로
V = 2 π ⋅ 4 r 3 π ⋅ 1 2 π r 2 = 4 3 π r 3 {\displaystyle V=2\pi \cdot {\frac {4r}{3\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\pi r^{2}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 이다.
따라서 구의 부피는 4 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 이다.
구의 표면적
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밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.
그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.
1 3 π r 3 : 4 3 π r 3 = π r 2 : S {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{2}:S}
따라서 겉넓이 S = 4 π r 2 {\displaystyle S=4\pi r^{2}} 이 된다.
같이 보기
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