기하학적 양자화

수리물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.

정의

대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$. 이는 계의 상태 공간(phase space)이다.
• 해밀토니언 $H\colon M\to \mathbb {R}$. 이는 계의 시간 변화를 나타낸다.

고전적 관측가능량들은 $M$ 위의 함수로 나타내어진다.

기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.

1. 준양자화(영어: prequantization)
2. 양자화
3. 메타플렉틱 보정(영어: metaplectic correction)

준양자화

심플렉틱 형식 $\omega$가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, 영어: prequantization condition)을 만족시킨다고 하자.

$[\omega /2\pi ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )$

즉, $\omega /2\pi$의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.)

매끄러운 다양체 $(M,\omega )$ 위의 준양자 구조(準量子構造, 영어: prequantum structure)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $M$ 위의 복소수 선다발 $L\twoheadrightarrow M$
• $L$ 위의 코쥘 접속 $\nabla$

준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다.

$\operatorname {c} _{1}(L)=[\omega /2\pi ]$

$F_{\nabla }=\mathrm {i} \omega$

여기서 $c_{1}$은 1차 천 특성류이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.)

$(M,\omega )$의 준양자 구조 $({\mathcal {L}},\nabla )$가 주어졌다면, ${\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}^{\otimes n}$은 $(M,n\omega )$의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치 $q^{i}$를 고정시킨다면 일반화 운동량이

$p_{i}=q_{j}\omega _{ij}$

이므로, 이는

$p_{i}\mapsto np_{i}$

와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 $S$는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는

$S/\hbar \mapsto nS/\hbar =S/(\hbar /n)$

이다. 양자역학의 파인만 경로 적분은 $S/\hbar$에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의

$\hbar \mapsto \hbar /n$

으로 생각할 수 있다. 따라서, $n\to \infty$ 극한은 $\hbar \to 0$, 즉 반고전적(영어: semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

양자화

다양체 $M$ 위의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 $TM^{\mathbb {C} }$의 부분 벡터 다발 $P\subset TM^{\mathbb {C} }$이다.^{:Definition 7.4:§4}

• (적분 가능성) 모든 $u,v\in P$에 대하여, $[u,v]\in P$이다. 여기서 $[\cdot ,\cdot ]$는 리 미분이다.
• (극대성) $P$보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, $M$이 유한 차원이라면, $P$의 차원은 $\dim _{\mathbb {R} }P=\dim M$이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 $(M,L,\nabla ,P)$에 대하여, ${\mathcal {H}}$는 $L$의 제곱 적분 가능 단면 가운데, $P$의 방향으로 일정한 단면들이다.

${\mathcal {H}}=\{s\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)\colon \nabla _{P}s=0\}$

이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어: projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다.

여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. $P$는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(영어: leaf space) $M/P$를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 $M$으로부터 유도된 측도가 존재한다. $\nabla _{P}s=0$을 만족시키는 단면의 경우 $M/P$ 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 $M/P$ 위에 유도된 측도에 대한 것이다.

메타플렉틱 보정

양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조(영어: metaplectic structure)를 정의해야 한다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$의 접다발 $TM$은 심플렉틱 구조로 인해 $\operatorname {Sp} (\dim M,\mathbb {R} )$ 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 $\operatorname {Mp} (2k,\mathbb {R} )$는 $\operatorname {Sp} (2k,\mathbb {R} )$의 연결 두 겹 피복군이다. ($\pi _{1}(\operatorname {Sp} (2k,\mathbb {R} ))=\mathbb {Z}$이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$의 메타플렉틱 구조는 접다발의 $\operatorname {Sp} (\dim M,\mathbb {R} )$ 구조를 메타플렉틱 구조 $\operatorname {Mp} (\dim M,\mathbb {R} )$로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)

준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 $N\subset M$과 그 위에 정의된 $L$의 단면 $s\in \Gamma (N,L\otimes {\sqrt {\det T^{*}N}})$이다. $s^{2}$는 $N$ 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 ${\mathcal {H}}$의 원소 ${\tilde {s}}\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)$로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 $f\colon M\to \mathbb {R}$ 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.

특히, 이 경우 자주 선다발 $L$을 $L\otimes {\sqrt {K}}$로 대체한다. 여기서 $K=\textstyle \bigwedge ^{\dim M}(\mathrm {T} M/P)^{*}$이다. 만약 $P$가 정칙 극성화라면 $K$는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 $P$가 실수 극성화라면 $K$는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, $\mathrm {T} ^{*}N$의 실수 극성화의 경우, 상태는 $N$ 위의 함수 $f(x)$ 대신 $f(x){\sqrt {\mathrm {d} ^{\dim N}x}}$의 꼴이게 되며, 그 제곱 $|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} ^{\dim N}x$은 자연스럽게 $N$ 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 $n\omega \hbar$ 대신 $(n+1/2)\omega \hbar$가 된다.

극성화의 종류

기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.

• $M$이 공변접다발 $M=\mathrm {T} ^{*}N$인 경우. 이는 짜임새 공간 $N$이 존재하여, 라그랑주 역학이 적용 가능한 경우다.
• $M$이 켈러 다양체인 경우.

공변접다발

공변접다발

$M=\mathrm {T} ^{*}N$

의 경우, 심플렉틱 미분 형식 $\omega =\mathrm {d} p_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}$에 대한 리우빌 미분 형식

$\theta =p_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}$

이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, $\omega =\mathrm {d} \theta$는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발

${\mathcal {L}}\cong M\times \mathbb {C}$

은 자명하고, 그 위에 $\theta$를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 표준적으로

$\mathrm {T} _{(x,p)}M\cong \mathrm {T} _{x}N\oplus \mathrm {T} _{x}^{*}N\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} _{x}^{*}M)$

$\mathrm {T} _{(x,p)}M^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {T} _{x}N^{\mathbb {C} }\oplus \mathrm {T} _{x}^{*}N^{\mathbb {C} }\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} _{x}^{*}M)$

이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

${\mathcal {P}}=\mathrm {T} ^{*}N^{\mathbb {C} }\subset TM^{\mathbb {C} }$

이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.

따라서 복소수 힐베르트 공간은 $N$ 위의 르베그 공간

${\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(N,\mathbb {C} )$

과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

${\hat {x}}^{i}\colon f\mapsto x_{i}f$

${\hat {p}}_{i}\colon f\mapsto -i\partial _{i}f$

으로 대응된다.

켈러 다양체

그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 $2\pi$배)인 켈러 다양체 $M$을 생각하자. 이 경우, $\omega /2\pi$에 대응하는 정칙 선다발 $L\twoheadrightarrow M$이 존재하며, 그 위에 곡률이 $i\omega$인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 $TM^{\mathbb {C} }$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

$\mathrm {T} M^{\mathbb {C} }=\mathrm {T} M^{+}\oplus \mathrm {T} M^{-}$

여기서 $\mathrm {T} M^{+}$는 정칙 벡터장들의 다발이고, $\mathrm {T} M^{-}$는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

${\mathcal {P}}=\mathrm {T} M^{-}$

로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

${\mathcal {H}}=H^{0}(M,L)$

은 $L$의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

${\hat {z}}^{i}\colon f\mapsto z^{i}f$

$-\mathrm {i} \partial _{i}\colon f\mapsto -\mathrm {i} \partial _{i}f$

에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

예

유클리드 공간의 공변접다발 극성화

구체적으로, 위상 공간이 $2n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2n}$ 인 계를 생각하자. 이를 공변접다발

$\mathbb {R} ^{2n}\cong T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}$

으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜

$\theta =\sum _{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}$

에 대응하는 접속은 다음과 같다.

$\nabla _{\partial /\partial p_{i}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}$

$\nabla _{\partial /\partial q_{i}}={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-2\pi ip_{i}$

극성화

$\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial p}}\right\}$

에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.

${\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2n})\colon {\frac {\partial f}{\partial p^{i}}}=0\forall i=1,\dots ,n\right\}\cong L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$

반대로, 운동량 방향의 극성화

$\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial x}}\right\}$

에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.^{:Example 7.5}

${\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2n})\colon {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}-2\pi ip_{i}f(x)=0\forall i=1,\dots ,n\right\}$

즉,

$f(x,p)=f(p)\exp \left(2\pi i\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)$

의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

유클리드 공간의 켈러 극성화

평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.^{:Example 7.10}

구체적으로, 위상 공간이 $2n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2n}$인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.

$\nabla _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+x_{i}$

여기에 복소구조를 주어

$\mathbb {R} ^{2n}\cong \mathbb {C} ^{n}$

$z_{i}=x_{i}+x_{i+n},\quad i=1,\dots ,n$

${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

으로 생각하고, 켈러 극성화

${\mathcal {P}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}_{1},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\right\}$

를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L² 함수 $s\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$가운데

$\nabla _{\partial /\partial z}s(z,{\bar {z}})=\left(2{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}+z\right)s(z,{\bar {z}})=0$

인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는

$s(z,{\bar {z}})=f(z)\exp \left(-\sum _{i}z_{i}{\bar {z}}^{i}/2\right)$

의 꼴이며, 여기서 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.

$\int _{\mathbb {C} }|f(z)|^{2}\exp \left(-\sum _{i}z_{i}{\bar {z}}_{i}\right)\,d^{2n}z<\infty$

이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.

$s_{\alpha }=z^{\alpha }\exp(-z{\bar {z}}/2),\qquad \alpha \in \mathbb {N} ^{n}$

이들은 $n$차원 조화 진동자의 $\alpha$번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간(영어: Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다.

리만 구의 양자화

리만 구 ${\hat {\mathbb {C} }}$ 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 $k$의 인자 $D$에 대응하는 선다발 ${\mathcal {O}}(D)$로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

${\mathcal {H}}(k)=\{f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(D))\colon {\bar {\partial }}f=0\}$

이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

$\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {H}}(k)=\max\{k+1,0\}$

이다. 이는 스핀 $k/2$의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, $k$를 $k-1$로 치환하여야 한다.)

보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 $\Sigma$ 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 $D$에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간

${\mathcal {H}}(D)=H^{0}(\Sigma ,{\mathcal {O}}(D))$

을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.

콤팩트 켈러 다양체의 양자화

보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 $M$ 위에, 양의 정수 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여 곡률이 $k\omega$가 되는 복소수 정칙 선다발 ${\mathcal {L}}^{\otimes k}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지

${\mathcal {H}}(k)=H^{0}(M,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$

가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 $k$에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.^{:Example 7.11}

${\mathcal {H}}(k)=\int _{M}\exp(k\omega )\operatorname {Td} M\qquad (k\gg 1)$

여기서 $\operatorname {Td} M$은 토드 특성류이다.

특히, $M$이 복소수 $n$차원이라면

$\int _{M}\exp(k\omega )\operatorname {Td} M=\sum _{i=0}^{n}\int _{M}{\frac {k^{i}\omega ^{i}}{i!}}\operatorname {Td} M=k^{n}\int _{M}\omega ^{n}/n!+{\frac {1}{(n-1)!2}}k^{n-1}\int _{M}\omega c_{1}+\cdots$

이 되므로, 고전 극한 $k\to \infty$에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 $\int _{M}(k\omega )^{n}/n!$에 수렴하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌

• Woodhouse, Nicholas M. J. (1997년 8월 28일). 《Geometric Quantization》. Oxford Mathematical Monographs (영어) 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850270-8. MR 1183739.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Echeverría-Enríquez, Arturo; Miguel C. Munoz-Lecanda, Narciso Román-Roy, Carles Victoria-Monge (1998). “Mathematical foundations of geometric quantization”. 《Extracta Mathematica》 (영어) 13 (2). arXiv:math-ph/9904008. Bibcode:1999math.ph...4008. 
• Todorov, Ivan (2012). ““Quantization is a mystery”” (PDF). 《Bulgarian Journal of Physics》 (영어) 39 (2): 107–149. arXiv:1206.3116. Bibcode:2012arXiv1206.3116T. 
• Sardanashvily, G. (2001). “Geometric quantization of symplectic foliations” (영어). arXiv:math/0110196. Bibcode:2001math.....10196S. 
• Ma, Xiaonan. 〈Geometric quantization on Kähler and symplectic manifolds〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, India, 2010》 (영어). 785–810쪽. Zbl 1229.53088. 2013년 9월 27일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 9월 25일에 확인함. 
• Lerman, Eugene (2012). 〈Geometric quantization: a crash course〉. 《Mathematical Aspects of Quantization》. Contemporary Mathematics (영어) 583. American Mathematical Society. arXiv:1206.2334. Bibcode:2012arXiv1206.2334L. doi:10.1090/conm/583/11577. ISBN 978-0-8218-7573-5. 
• Tyurin, Andrey N. (2002). “Quantization, classical and quantum field theory and theta-functions” (영어). Bibcode:2002math.....10466T. 
• Sjamaar, Reyer (1996). “Symplectic reduction and Riemann–Roch formulas for multiplicities”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 33 (3): 327–338. doi:10.1090/S0273-0979-96-00661-1. MR 1364017. 
• Bos, Rogier David (2007). 《Groupoids in geometric quantization》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Universal Press. ISBN 978-90-9022176-2. 

외부 링크

• Baez, John (2000년 8월 11일). “Geometric quantization” (영어). 
• “Geometric quantization”. 《nLab》 (영어). 
• “Space of states (geometric quantization)”. 《nLab》 (영어). 
• “Metaplectic correction (in geometric quantization)”. 《nLab》 (영어). 
• “Geometric quantization by push-forward”. 《nLab》 (영어). 
• “Guillemin-Sternberg geometric quantization conjecture”. 《nLab》 (영어). 
• “geometric quantization of the 2-sphere”. 《nLab》 (영어).