누적 분포 함수

확률론에서 누적분포함수(累積分布函數, 영어: cumulative distribution function, 약자 cdf)는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다.

정규 분포의 누적분포함수

정의

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 위의 실숫값 확률 변수 $X\colon \Omega \to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$의 (우연속) 누적분포함수 $F_{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 다음과 같다.

$F_{X}(x)=\operatorname {Pr} (X\in (-\infty ,x])\qquad \forall x\in \mathbb {R}$

보다 일반적으로, 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 위의 실숫값 확률 벡터 $X=(X_{1},\dots ,X_{n})\colon \Omega \to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$의 (우연속) 누적분포함수 $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$는 다음과 같다.

$F_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in (-\infty ,x_{1}],\dots ,X_{n}\in (-\infty ,x_{n}])\qquad \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 좌연속 누적분포함수의 정의를 얻는다.

성질

함수로서의 성질

임의의 함수 $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $F$는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다.
• 다음 조건들을 만족시킨다.
  • (증가 함수) 만약 $x,y\in \mathbb {R}$이며 $x\leq y$라면, $F(x)\leq F(y)$
  • (우연속 함수) 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, $F(x^{+})=F(x)$
  • $F(-\infty )=0$
  • $F(\infty )=1$

여기서 $F(x^{+})$는 우극한이며, $F(-\infty )$와 $F(\infty )$는 음과 양의 무한대에서의 극한이다.

보다 일반적으로, 임의의 함수 $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $F$는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다.
• 다음 조건들을 만족시킨다.
  • 만약 $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$이며 $x_{i}\leq y_{i}\forall i\in \{1,\dots ,n\}$이라면, $\textstyle \sum _{t\in \{x_{1},y_{1}\}\times \cdots \times \{x_{n},y_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=x_{i}\}|}F(t)\geq 0$. (이 조건과 세 번째 조건은 $F$가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.)
  • (우연속 함수) 임의의 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, $F(x^{+})=F(x)$
  • 임의의 $i\in \{1,\dots ,n\}$ 및 $x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$에 대하여, $F(x_{1},\dots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\dots ,x_{n})=0$
  • $F(\infty ,\dots ,\infty )=1$

여기서

$F(x^{+})=\lim _{y_{1}\to x_{1}^{+},\dots ,y_{n}\to x_{n}^{+}}F(y)$

$F(x_{1},\dots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\dots ,x_{n})=\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x)$

$F(\infty ,\dots ,\infty )=\lim _{x_{1}\to \infty ,\dots ,x_{n}\to \infty }F(x)$

이다.

확률 분포와의 관계

확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

확률 변수 $X$가 구간 $(a,b]$에 속할 확률과 특정 실수 $x\in \mathbb {R}$를 취할 확률은 누적분포함수 $F_{X}$를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\operatorname {Pr} (X\in (a,b])=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

$\operatorname {Pr} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})$

보다 일반적으로, 확률 벡터 $X=(X_{1},\dots ,X_{n})$가 $(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]$에 속할 확률과 특정 값 $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$을 취할 확률은 각각 다음과 같다.

$\operatorname {Pr} (X_{1}\in (a_{1},b_{1}],\dots ,X_{n}\in (a_{n},b_{n}])=\sum _{t\in \{a_{1},b_{1}\}\times \cdots \times \{a_{n},b_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=a_{i}\}|}F_{X}(t)$

$\operatorname {Pr} (X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n})=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\sum _{t\in \{x_{1}-\epsilon ,x_{1}\}\times \cdots \times \{x_{n}-\epsilon ,x_{n}\}}(-1)^{|\{i\colon t_{i}=x_{i}-\epsilon \}|}F_{X}(t)$

이산성·연속성·특이성과의 관계

이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적분포함수

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 이산 확률 변수이다. (즉, $\operatorname {Pr} (X\in A)=1$인 가산 집합 $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$이 존재한다.)
• $\textstyle \sum _{x\in \mathbb {R} }\left(F_{X}(x)-\lim _{y\to x^{-}}F_{X}(y)\right)=1$

특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, $\operatorname {Pr} (X=x)=0$이다.)
• $F_{X}$는 연속 함수이다.

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 $\operatorname {Pr} (X\in \bullet )$는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, $X$는 확률 밀도 함수를 갖는다.)
• $F_{X}$는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다.

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 $\operatorname {Pr} (X\in \bullet )$와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.)
• 르베그 거의 어디서나 $F_{X}'=0$이다.

임의의 누적분포함수 $F$는 이산 누적분포함수 $F_{\operatorname {disc} }$와 절대 연속 누적분포함수 $F_{\operatorname {a.c.} }$, 특이 연속 누적분포함수 $F_{\operatorname {s.c.} }$의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다.

$F=cF_{\operatorname {disc} }+c'F_{\operatorname {a.c.} }+c''F_{\operatorname {s.c.} }$

$c,c',c''\geq 0$

$c+c'+c''=1$

독립성과의 관계

같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 ${\mathcal {X}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {X}}$는 서로 독립이다.
• 임의의 서로 다른 $X_{1},\dots ,X_{n}\in {\mathcal {X}}$ 및 임의의 $x_{i}\in \operatorname {dom} F_{X_{i}}$ ($i=1,\dots ,n$)에 대하여, $F_{(X_{1},\dots ,X_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{n}}(x_{n})$

증명:

첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수

${\mathcal {X}}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$

$X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다.

${\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]\colon x\in \mathbb {R} \}$

라고 하자. 그렇다면 ${\mathcal {C}}$는 π계를 이루며, ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$는 ${\mathcal {C}}$를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\mathcal {L}}_{n}=\{B_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|\forall B_{1},\dots ,B_{n-1}\in {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{n}\in B_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X_{n}\in B_{n})\}$

그렇다면, 가정한 조건에 따라 ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {L}}_{n}$이다. 또한, ${\mathcal {L}}_{n}$은 λ계를 이룸을 보일 수 있다. 딘킨 π-λ 정리에 따라, ${\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\mathcal {L}}_{n-1}=\{B_{n-1}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|\forall B_{1},\dots ,B_{n-2}\in {\mathcal {C}},B_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\colon \operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{n}\in B_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X_{n}\in B_{n})\}$

그렇다면, ${\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$이므로 ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {L}}_{n-1}$이며, ${\mathcal {L}}_{n-1}$은 λ계를 이룬다. 따라서 ${\mathcal {L}}_{n-1}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 $B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$에 대하여,

$\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{n}\in B_{n})=\operatorname {Pr} (X_{1}\in B_{1})\cdots \operatorname {Pr} (X_{n}\in B_{n})$

이라는 사실을 얻는다. 즉, $\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$은 서로 독립이다.

참고 문헌

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크

• “Distribution function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Distribution function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.