란다우 준위

양자역학에서 란다우 준위(Ландау準位, 영어: Landau level)는 자기장 속에서 움직이는 대전 입자의 양자화된 궤도들이다. 레프 란다우의 이름을 땄다.

유도와 정의 편집

z방향으로 균일한 자기장 $\mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}$ 가 주어진 xy 평면을 생각하자. 이 자기장에 대한 자기 퍼텐셜 $\mathbf {A}$ 는

\mathbf {A} =xB{\hat {\mathbf {y} }}

으로 잡을 수 있다. xy 평면에 갇힌, 전하 $q$ 를 가진 입자를 생각하자. 이 입자의 해밀토니언은 다음과 같다.

H={\frac {1}{2m}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}={\frac {1}{2m}}\left(p_{x}^{2}+(p_{y}-qxB)^{2}\right)

이 해밀토니언은 y방향 운동량과 가환한다.

[H,p_{y}]=0

따라서 $p_{y}$ 를 그 고윳값으로 대체할 수 있다. $p_{y}$ 의 고윳값을 고정시키면, 이 해밀토니언은 위치 에너지

V(x)=(p_{y}-qxB)^{2}/2m={\frac {1}{2m}}q^{2}B^{2}(x-p_{y}/qB)^{2}

를 가지는, 1차원 공간 위에 존재하는 입자다. 이 퍼텐셜은 포물선 꼴이므로, 이는 1차원 양자 조화 진동자이며, 그 각진동수 $\omega$ 는

\omega =qB/m

다. 따라서, 주어진 $p_{y}$ 에 대한 에너지 준위는 다음과 같다.

E_{n}=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\hbar qB/mc

이 준위들을 란다우 준위라고 한다.