지배 수렴 정리

해석학에서 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

정의

확장 지배 수렴 정리

측도 공간 $(X,{\mathcal {S}},\mu )$ 위의 가측 함수의 열 $f_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ($n\in \mathbb {N}$) 및 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열 $g_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ($n\in \mathbb {N}$) 및 가측 함수 $g\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$가 존재한다고 하자.

• 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
  • (점별 수렴) $f_{n}$은 $f$로 점별 수렴하며, $g_{n}$은 $g$로 점별 수렴한다.
  • (거의 어디서나 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_{n}$은 $f$로 거의 어디서나 수렴하며, $g_{n}$은 $g$로 거의 어디서나 수렴한다.
  • (측도 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_{n}$은 $f$로 측도 수렴하며, $g_{n}$은 $g$로 측도 수렴한다.
• (적분 가능성) $\int _{X}|g|\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}|g_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty$
• (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 거의 어디서나 $|f_{n}|\leq g_{n}$

그렇다면, 확장 지배 수렴 정리(擴張支配收斂定理, 영어: extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.^{:57, §2.3, Theorem 2.3.11}

• (적분 가능성) $\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty$
• (L¹ 수렴) $\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0$
• (적분과 극한의 교환) $\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu$

사실, 이 경우 셰페 정리(영어: Scheffé's theorem)에 따라 $g_{n}$ 역시 $g$로 L¹ 수렴한다.

증명 (점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴):

가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.

적분 가능성: 가정에 따라 $f$와 $g$는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라

$\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|g_{n}|\mathrm {d} \mu =\int _{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty$

이다.

L¹ 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나

$|f_{n}-f|\leq |f_{n}|+|f|\leq g_{n}+g$

이므로, $g_{n}+g-|f_{n}-f|$는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면

${\begin{aligned}\int _{X}2g\mathrm {d} \mu &\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}(g_{n}+g-|f_{n}-f|)\mathrm {d} \mu \\&=\int _{X}2g\mathrm {d} \mu -\limsup _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu \end{aligned}}$

를 얻는다.

적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라

$\limsup _{n\to \infty }\left|\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu -\int _{X}f\mathrm {d} \mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0$

이다.

증명 (측도 수렴):

측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열 $f_{n_{k}}$ ($k\in \mathbb {N}$)에 대하여, 각각 $f$, $g$로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 $f_{n_{k_{j}}}$, $g_{n_{k_{j}}}$가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라

$\lim _{j\to \infty }\int _{X}|f_{n_{k_{j}}}-f|\mathrm {d} \mu =0$

이다. 이에 따라

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0$

이다.

지배 수렴 정리

측도 공간 $(X,{\mathcal {S}},\mu )$ 위의 가측 함수의 열 $f_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ($n\in \mathbb {N}$) 및 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수 $g\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$가 존재한다고 하자.

• 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
  • (점별 수렴) $f_{n}$은 $f$로 점별 수렴한다.
  • (거의 어디서나 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_{n}$은 $f$로 거의 어디서나 수렴한다.
  • (측도 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_{n}$은 $f$로 측도 수렴한다.
• (적분 가능성) $\int _{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty$
• (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 거의 어디서나 $|f_{n}|\leq g$

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.^{:26:57, §2.3, Corollary 2.3.12}

• (적분 가능성) $\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty$
• (L¹ 수렴) $\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0$
• (적분과 극한의 교환) $\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu$

증명:

확장 지배 수렴 정리에서 $g_{n}=g$를 취한다.

유계 수렴 정리

유한 측도 공간 $(X,{\mathcal {S}},\mu )$ ($\mu (X)<\infty$) 위의 가측 함수의 열 $f_{n}\colon X\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ($n\in \mathbb {N}$) 및 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
  • (점별 수렴) $f_{n}$은 $f$로 점별 수렴한다.
  • (거의 어디서나 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_{n}$은 $f$로 거의 어디서나 수렴한다.
  • (측도 수렴) $f$는 가측 함수이며, $f_{n}$은 $f$로 측도 수렴한다.
• $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{\infty }<\infty$

그렇다면, 유계 수렴 정리(有界收斂定理, 영어: bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.^{:57, §2.3, Corollary 2.3.13}

• (적분 가능성) $\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty$
• (L¹ 수렴) $\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0$
• (적분과 극한의 교환) $\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu$

증명:

지배 수렴 정리에서

$g\colon x\mapsto \sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{\infty }$

를 취한다.

역사

역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.^:313

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.^:313

• 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, $\int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a).$

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

외부 링크

• “Lebesgue theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue’s dominated convergence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Dominated convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of dominated convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of dominated convergence theorem 1”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Lebesgue’s dominated convergence theorem”. 《ProofWiki》 (영어).