모듈러 곡선

수론과 대수기하학에서 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

정의

모듈러 군 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )\cong \Gamma (1)$의 부분군 $G\subset \Gamma (1)$가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 $N$에 대하여 $\Gamma (N)\supset G$라면, $G$를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 $N$을 합동 부분군 $G$의 준위(영어: level 레벨^[*])라고 한다.

Γ(1)은 자연스럽게 상반평면 $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}$에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 $G$ 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 $G\setminus \mathbb {H}$를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 $Y(G)$라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)

$\mathbb {H} ^{*}=\mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}$

을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.^:58 $X(G)=G\setminus \mathbb {H} ^{*}=Y(G)\cup G\setminus (\mathbb {Q} \cup \{i\infty \})$

대표적인 합동 부분군 Γ₀(N), Γ₁(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X₀(N), X₁(N), X(N)이라고 적는다.

타원점과 첨점

합동 부분군 $G$의 타원점 $\tau \in \mathbb {H}$는 그 점에서의 $\mathbb {H}$-작용에 대한 안정자군 $G_{\tau }$가 자명하지 않는 ($\pm 1\subset G$보다 더 큰) 점이다.^:48 이 경우, $G_{\tau }/\{\pm 1\}$의 크기를 타원점 $\tau$의 계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 $G$의 모듈러 곡선 $Y(G)$ 위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 $G$의 첨점(尖點, 영어: cusp)은 :$G\setminus (\mathbb {Q} \cup \{i\infty \})=X(G)-Y(G)$ 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

타원곡선과의 관계

모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어, $X(1)$은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. $\tau \in \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$는 타원 곡선

$\mathbb {C} /\Lambda (z,\tau z)$

과 대응된다. 여기서 $\Lambda =\Lambda (\langle z,\tau z)$는 $0\neq z,\tau z\in \mathbb {C}$에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, $z$는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 $z$를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

X(N)

X(N)의 경우, 타원곡선 $E$ 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 $p,q\in E$이다.^:440

• $p$와 $q$의 차수는 $N$의 약수이다. 즉, $Np=Nq=0$이다.
• $p$와 $q$의 베유 쌍(Weil pairing)은 $e_{N}(p,q)=\exp(2\pi i/N)$이다.

복소수체의 경우, 두 $N$차 점

$p=(a+b\tau )/N$

$q=(c+d\tau )/N$

$a,b,c,d\in \mathbb {Z} /N$

의 베유 쌍은

$e_{N}(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)$

이다.

이에 따라서 $\{p,q\}$는 N차 꼬임 부분군

$\{z\in \mathbb {C} \colon Nz\in \Lambda \}$

의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 $\tau \in \Gamma (N)\backslash \mathbb {H}$에 대하여 이는

$(p,q)=(1/N,\tau /N)\in \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )$

로 주어진다.

X₀(N)

X₀(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N차 순환 부분군

$i\colon \mathbb {Z} /n\hookrightarrow C/\Lambda$

이다.^:440 구체적으로, $\tau \in \Gamma _{0}(N)\backslash \mathbb {H}$에 대하여 이는

$\{0,1/N,2/N,\dots ,(N-1)/N\}\subset \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )$

이다.

X₁(N)

X₁(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 $N$인 점 (즉, $Nz\in \Lambda$인 $z\in \mathbb {C}$)이다.^:439 구체적으로, $\tau \in \Gamma _{1}(N)\backslash \mathbb {H}$에 대하여 이는

$1/N\in \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )$

이다.

성질

모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 $G$의 콤팩트 모듈러 곡선 $X(G)$의 종수(genus)는 다음과 같다.^:68

$g(X(G))=1+|\Gamma (1):G|/12-r_{2}/4-r_{3}/3-r_{\infty }/2$

여기서

• $|\Gamma (1):G|$는 부분군의 지표다.
• $r_{2}$는 $G$의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
• $r_{3}$는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
• $r_{\infty }$는 $G$의 첨점들의 수이다.

예

Γ(1)

모듈러 군 $\Gamma (1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 $X(1)$은 리만 구 ${\hat {\mathbb {C} }}$와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

$j\colon \Gamma (1)\backslash \mathbb {H} \to {\hat {\mathbb {C} }}$

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

• 계수가 2인 타원점 1개 ($i\in \mathbb {H}$)
• 계수가 3인 타원점 1개 ($(1+i{\sqrt {3}})/2\in \mathbb {H}$)
• 첨점 1개 ($i\infty$)

를 가진다. 따라서

$g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0$

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

Γ(N)

Γ(N)의 경우 $N>1$이면 타원점이 없다.^:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.^:106

$|\Gamma (1):\Gamma (N)|={\begin{cases}{\frac {1}{2}}N^{3}\prod _{p|N}(1-1/p^{2})&N>2\\6&N=2\end{cases}}$

또한, 이 경우 $|\Gamma (1):\Gamma (N)|/N$개의 첨점이 있다.^:106 따라서 이 경우 종수는

$g=1+|\Gamma (1):\Gamma (N)|(1/12-1/2N)$

이다. 예를 들어, $N=2$인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는

$g=1+6(1/12-1/4)=0$

이다.

N이 소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)

$g=(p+2)(p-3)(p-5)/24$

따라서 Γ₁(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.^:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	6	3	0	0	0
3	12	4			0
4	24	6			0
5	60	12			0
6	72	12			1
7	168	24			3
8	192	24			5
9	324	36			10
10	360	36			13
11	66	60			26

X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 $j\colon \mathbb {H} /\Gamma (1)\to {\hat {\mathbb {C} }}$에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 $\lambda \colon \mathbb {H} /\Gamma (2)\to {\hat {\mathbb {C} }}$에 의해 주어진다.

Γ₁(N)

Γ₁(2)와 Γ₁(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ₁(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.^:57 Γ₁(N)의 지표는

$|\Gamma (1):\Gamma _{1}(N)|=|\Gamma (1):\Gamma (N)|/N$

이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.^:107

$r_{\infty }={\begin{cases}2&N=2,3\\3&N=4\\{\frac {1}{2}}\sum _{d|N}\phi (d)\phi (N/d)&N>4\end{cases}}$

($\phi$는 오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ₁(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.^:107 여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	3	2	1	0	0
3	4	2	0	1	0
4	6	3	0	0	0
5	12	4			0
6	12	4			0
7	24	6			0
8	24	6			0
9	36	8			0
10	36	8			0
11	60	10			1
12	48	10			0

Γ₀(N)

Γ₀(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

$r_{2}={\begin{cases}0&4|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-1}{p}}))&4\not |N\end{cases}}$

$r_{3}={\begin{cases}0&9|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-3}{p}}))&4\not |N\end{cases}}$

$r_{\infty }=\sum _{0<k|N}\phi ((d,N/d))$

여기서 $\phi$는 오일러 피 함수이고, $({\tfrac {a}{b}})$는 르장드르 기호이다. $a|b$는 $a$가 $b$의 인수라는 뜻이다. $p|b$는 $p$가 $b$의 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	3	2	1	0	0
3	4	2	0	1	0
4	6	3	0	0	0
5	6	2	2	0	0
6	12	4	0	0	0
7	8	2	0	2	0
8	12	4	0	0	0
9	12	4	0	0	0
10	18	4	2	0	0
11	12	2	0	0	1

외부 링크

• Panchishkin, A.A. (2001). “Modular curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.