몰바이데의 공식 (독일어 : Mollweidesche Formeln , Mollweide's formula, -公式)은 삼각법 과 유클리드 평면 기하학의 정리 로, 임의의 삼각형 에서 두 변의 길이 합 또는 차와 다른 변의 길이를 연관시키는 공식이다. 독일 수학자 카를 몰바이데 (Karl Mollweide)의 이름이 붙어 있다.
각 변의 길이를 A, B, C, 그리고 그 변과 마주보는 각의 크기를 a, b, c라 하면 몰바이데의 공식은 다음과 같이 두 식으로 쓸 수 있다.
A
+
B
C
=
cos
(
a
−
b
2
)
sin
(
c
2
)
{\displaystyle {\frac {A+B}{C}}={\frac {\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {c}{2}}\right)}}}
A
−
B
C
=
sin
(
a
−
b
2
)
cos
(
c
2
)
{\displaystyle {\frac {A-B}{C}}={\frac {\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {c}{2}}\right)}}}
여기서 A, B, C의 선택은 임의의 변에 대해 가능하므로, 실제 한 삼각형에 대해 적용되는 몰바이데의 공식은
3
C
2
×
2
=
6
{\displaystyle _{3}C_{2}\times 2=6}
첫 번째 식만 증명한다. 사인 법칙 과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식, 배각 공식 을 이용하면
A
+
B
C
=
sin
a
+
sin
b
sin
c
=
sin
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
sin
c
2
cos
c
2
=
sin
π
−
c
2
cos
a
−
b
2
sin
c
2
cos
c
2
=
cos
(
a
−
b
2
)
sin
(
c
2
)
{\displaystyle {\frac {A+B}{C}}={\frac {\sin a+\sin b}{\sin c}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {c}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {\pi -c}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {c}{2}}}}={\frac {\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {c}{2}}\right)}}}
으로 원하는 결론을 얻는다.
삼각형의 결정 조건
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몰바이데의 공식은 삼각형의 결정 조건을 검증할 때 자주 이용된다. 먼저 A + B > C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,
cos
a
−
b
2
>
sin
c
2
=
cos
a
+
b
2
{\displaystyle \cos {\frac {a-b}{2}}>\sin {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a+b}{2}}}
이고, 양 변을 전개하면,
2
sin
a
2
sin
b
2
>
0
{\displaystyle 2\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}>0}
이 되는데, 이는 삼각형에서 사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다. 또 A - B < C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,
sin
a
−
b
2
<
cos
c
2
=
sin
a
+
b
2
{\displaystyle \sin {\frac {a-b}{2}}<\cos {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a+b}{2}}}
인데 양 변을 전개하면,
2
cos
a
2
sin
b
2
>
0
{\displaystyle 2\cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}>0}
이고, 이는 삼각형에서 사인과 코사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다.
같이 보기
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참고 문헌
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Michael Sullivan, Trigonometry , Dellen Publishing Company, 1988, p. 243. 
