반사 원리 (영어 : reflection principle )는 복소수 의 켤레성 에 관련된 해석학 의 정리 중 하나이다. 헤르만 아만두스 슈바르츠 가 제출하였으므로 슈바르츠의 반사 원리 라고도 한다. 다음과 같이 공식화될 수 있다:
복소평면 상에서 D가 x축의 선분 을 포함하는 x축에 대칭인 영역이고 f가 D에서의 정칙함수 라 하자. 이때 D 안의 임의의 점 z에 대해
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\overline {z}})}
(→)
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\overline {z}})}
u
(
x
,
y
)
−
i
v
(
x
,
y
)
=
u
(
x
,
−
y
)
+
i
v
(
x
,
−
y
)
{\displaystyle u(x,y)-iv(x,y)=u(x,-y)+iv(x,-y)}
가 성립한다. 이제
y
=
0
{\displaystyle y=0}
u
(
x
,
0
)
{\displaystyle u(x,0)}
v
(
x
,
0
)
=
0
{\displaystyle v(x,0)=0}
(←) D에서
f
(
x
,
0
)
{\displaystyle f(x,0)}
f
(
z
)
=
f
(
z
¯
)
¯
{\displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}}}
코시-리만 방정식 을 만족하는 것은 간단한 대수적 전개로 알 수 있다. 그러므로 우변의 함수는 정칙이다. 또한 D 중 실수축 부분에서 좌변과 우변이 일치하는 것 역시 위에서와 유사한 논리로 간단하게 증명할 수 있다.
이제
f
(
z
)
−
f
(
z
¯
)
¯
=
g
(
z
)
{\displaystyle f(z)-{\overline {f({\overline {z}})}}=g(z)}
g
(
x
,
0
)
=
0
{\displaystyle g(x,0)=0}
항등 정리 에 의하면, 어떤 해석함수 f가 영역 D에서
{
z
∈
D
:
f
(
z
)
=
0
}
{\displaystyle \{z\in D:f(z)=0\}}
f
=
0
{\displaystyle f=0}
참고 문헌
편집
고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005 
