대수기하학 에서 베로네세 매장 (Veronese埋藏, 영어 : Veronese embedding )은 사영 공간 을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장 하는 방법이다.
임의의 자연수 등급 가환환
R
=
⨁
i
=
0
∞
R
i
{\displaystyle R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수
d
∈
Z
+
{\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}
자연수 등급 가환환
R
[
d
]
=
⨁
i
=
0
∞
R
d
i
{\displaystyle R^{[d]}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{di}}
R
i
[
d
]
=
R
d
i
{\displaystyle R_{i}^{[d]}=R_{di}}
을 정의할 수 있다. 베로네세 동형 사상 은 다음과 같은 스킴 의 동형 사상이다.
Proj
R
=
Proj
R
[
d
]
∀
d
∈
Z
+
{\displaystyle \operatorname {Proj} R=\operatorname {Proj} R^{[d]}\qquad \forall d\in \mathbb {Z} ^{+}}
여기서
Proj
{\displaystyle \operatorname {Proj} }
사영 스펙트럼 이다. 특히, 만약
R
[
d
]
{\displaystyle R^{[d]}}
R
0
{\displaystyle R_{0}}
R
d
{\displaystyle R_{d}}
R
d
{\displaystyle R_{d}}
R
0
{\displaystyle R_{0}}
가군 으로서의 임의의 생성원 집합 을
S
{\displaystyle S}
환 준동형
R
0
[
S
]
→
R
[
d
]
{\displaystyle R_{0}[S]\to R^{[d]}}
이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입
Proj
R
≅
Proj
R
[
d
]
↪
Proj
R
0
[
S
]
{\displaystyle \operatorname {Proj} R\cong \operatorname {Proj} R^{[d]}\hookrightarrow \operatorname {Proj} R_{0}[S]}
이 존재한다. 이를 베로네세 매장 이라고 한다.
사영 공간의 경우
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가환환
K
{\displaystyle K}
사영 공간
P
K
n
=
Proj
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]}
d
∈
Z
+
{\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}
(
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
)
[
d
]
=
K
[
x
0
d
,
x
0
d
−
1
x
1
,
…
,
x
0
x
1
d
−
1
,
x
0
x
1
d
−
2
x
2
,
…
,
x
n
−
1
x
n
d
−
1
,
x
n
d
]
{\displaystyle (K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}])^{[d]}=K[x_{0}^{d},x_{0}^{d-1}x_{1},\dots ,x_{0}x_{1}^{d-1},x_{0}x_{1}^{d-2}x_{2},\dots ,x_{n-1}x_{n}^{d-1},x_{n}^{d}]}
이다. 이러한 단항식의 수는
(
n
+
d
d
)
{\displaystyle {\binom {n+d}{d}}}
이다.
R
[
d
]
{\displaystyle R^{[d]}}
닫힌 몰입
P
K
n
↪
P
K
(
n
+
d
d
)
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}\hookrightarrow \mathbb {P} _{K}^{{\binom {n+d}{d}}-1}}
을 정의한다. 이를 베로네세 매장 (Veronese embedding )라고 한다.
자명한 베로네세 사상
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차수
d
{\displaystyle d}
P
n
→
P
0
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{0}}
상수 함수 이며,
d
=
1
{\displaystyle d=1}
P
n
→
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}}
항등 함수 이다.
유리 정규 곡선
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뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를
(
X
,
Y
,
Z
)
{\displaystyle (X,Y,Z)}
Y
=
Z
2
{\displaystyle Y=Z^{2}}
X
=
Z
3
{\displaystyle X=Z^{3}}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
P
1
→
P
d
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}
은
d
{\displaystyle d}
d
{\displaystyle d}
유리 곡선 을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선 (有理正規曲線, 영어 : rational normal curve )이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.
d
=
1
{\displaystyle d=1}
d
=
2
{\displaystyle d=2}
[
X
,
Y
,
Z
]
=
[
x
2
,
x
y
,
y
2
]
{\displaystyle [X,Y,Z]=[x^{2},xy,y^{2}]}
Y
2
=
X
Z
{\displaystyle Y^{2}=XZ}
사영 평면 속의 원뿔 곡선 을 정의한다.
d
=
3
{\displaystyle d=3}
[
X
,
Y
,
Z
,
W
]
=
[
x
3
,
x
2
y
,
x
y
2
,
y
3
]
{\displaystyle [X,Y,Z,W]=[x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]}
X
Z
−
Y
2
=
X
W
−
Y
Z
=
Y
W
−
Z
2
=
0
{\displaystyle XZ-Y^{2}=XW-YZ=YW-Z^{2}=0}
뒤틀린 3차 곡선 (영어 : twisted cubic )이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.여기서 "정규"는 정규 스킴 과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.
베로네세 곡면
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사영 평면
P
2
{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}
P
5
{\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}
베로네세 곡면 (Veronese曲面, 영어 : Veronese surface )이라고 한다.
(
x
,
y
,
z
)
↦
(
x
2
,
y
2
,
z
2
,
x
y
,
y
z
,
z
x
)
{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)}
베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면 이 존재한다. 이 초평면을 정의하는,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
,
x
y
,
y
z
,
z
x
)
{\displaystyle (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
원뿔 곡선 을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle R^{[d]}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{di}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dbebac3a380ff5eccdaa0d7e3a61eebd8b90723)
![{\displaystyle R_{i}^{[d]}=R_{di}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6802a414358bf406bd1475932891ece5535a732f)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R=\operatorname {Proj} R^{[d]}\qquad \forall d\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1048532180c32ee1b5800bf32559c8e9190a14b0)
![{\displaystyle R^{[d]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52900f1de366f3000a3edb429ba3a899eb3da8f)
![{\displaystyle R_{0}[S]\to R^{[d]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b015c4f8de65c31f8894b217d39a8b3460d98ba)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R\cong \operatorname {Proj} R^{[d]}\hookrightarrow \operatorname {Proj} R_{0}[S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313842b78d9c6860d9b8e27c701bed9c9a5c7382)
![{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a62d93708b608f09b51f2688d1a334e054f3e5)
![{\displaystyle (K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}])^{[d]}=K[x_{0}^{d},x_{0}^{d-1}x_{1},\dots ,x_{0}x_{1}^{d-1},x_{0}x_{1}^{d-2}x_{2},\dots ,x_{n-1}x_{n}^{d-1},x_{n}^{d}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f706295df52bbb21a00e2b2fef4bfc488384cd)
![{\displaystyle [X,Y,Z]=[x^{2},xy,y^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68967d9816674e888c6bcb496d8aacc7f48cb018)
![{\displaystyle [X,Y,Z,W]=[x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c61c7dddb5117625479c8342abd070592c1b7b2)
