켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 z , w {\displaystyle z,w} 에 대하여,
Re z = ( z + z ¯ ) / 2 {\displaystyle \operatorname {Re} z=(z+{\bar {z}})/2}
Im z = ( z − z ¯ ) / ( 2 i ) {\displaystyle \operatorname {Im} z=(z-{\bar {z}})/(2i)}
| z | = z z ¯ {\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}
arg z = ( 1 / ( 2 i ) ) ln z z ¯ z ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {arg} z=(1/(2i))\ln {\frac {z}{\bar {z}}}\qquad z\neq 0}
(덧셈 군 자기 준동형 ) z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}
(덧셈 군 자기 준동형 ) z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}}
(체 자기 동형 ) z w ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}
(체 자기 동형 ) ( z / w ) ¯ = z ¯ / w ¯ {\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}
(C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 자기 동형 ) z ¯ = z ⟺ z ∈ R {\displaystyle {\bar {z}}=z\iff z\in \mathbb {R} }
(대합 ) z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}
(노름 자기 동형 ) | z ¯ | = | z | {\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|}
arg z ¯ = − arg z {\displaystyle \operatorname {arg} {\bar {z}}=-\operatorname {arg} z}
Re z ¯ = Re z {\displaystyle \operatorname {Re} {\bar {z}}=\operatorname {Re} z}
Im z ¯ = − Im z {\displaystyle \operatorname {Im} {\bar {z}}=-\operatorname {Im} z} 켤레근 정리
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정칙 함수 f {\displaystyle f} 가 만약 f ( R ) ⊆ R {\displaystyle f(\mathbb {R} )\subseteq \mathbb {R} } 를 만족시킨다면, 임의의 복소수 z {\displaystyle z} 에 대하여, f ( z ) ¯ = f ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\bar {z}})} 가 성립한다. 특히, f ( x ) ∈ R [ x ] {\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]} 인 경우, 만약 f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} 이라면 f ( z ¯ ) = 0 {\displaystyle f({\bar {z}})=0} 이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 켤레근 정리 (-根定理, 영어 : complex conjugate root theorem )라고 한다.
체론적 성질
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켤레 복소수 함수는 갈루아 군 Gal ( C / R ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )} 의 유일한 비자명 원소이다.
관련 개념
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행렬의 경우
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행렬 A {\displaystyle A} 의 경우, 그 원소별 켤레 복소수를
A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.
( A ¯ ) i j = A i j ¯ {\displaystyle ({\bar {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}} 또한, 켤레 전치 는 다음과 같이 정의된다.
A ∗ = ( A ¯ ) T = A T ¯ {\displaystyle A^{*}=({\bar {A}})^{\operatorname {T} }={\overline {A^{\operatorname {T} }}}} 즉, 다음과 같다.
( A ∗ ) i j = A j i ¯ {\displaystyle (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}} 외부 링크
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