대수적 수론 에서 분기화 (分岐化, 영어 : ramification )는 어떤 체의 확대 에서, 원래 체의 대수적 정수환 에서의 소 아이디얼 이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.
분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.
분기화를 아이디얼 의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역 에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
분기화를 체 위의 절댓값 으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.
데데킨트 정역의 분기화
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데데킨트 정역
D
{\displaystyle D}
의 분수체
K
=
Frac
D
{\displaystyle K=\operatorname {Frac} D}
의 유한 확대
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
가 주어졌으며,
D
{\displaystyle D}
의
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
속에서의 정수적 폐포 가
D
~
{\displaystyle {\tilde {D}}}
라고 하자. 그렇다면
D
~
{\displaystyle {\tilde {D}}}
역시 데데킨트 정역 이다.[1] :45, Proposition I.8.1
D
↪
D
~
Frac
↓
↓
Frac
K
↪
K
~
{\displaystyle {\begin{matrix}D&\hookrightarrow &{\tilde {D}}\\{\scriptstyle \operatorname {Frac} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {Frac} \\K&\hookrightarrow &{\tilde {K}}\\\end{matrix}}}
D
{\displaystyle D}
속의 0이 아닌 소 아이디얼
p
∈
Spec
D
∖
{
(
0
)
}
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{(0)\}}
에 대하여, 포함 준동형
ι
:
D
↪
D
~
{\displaystyle \iota \colon D\hookrightarrow {\tilde {D}}}
에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.
ι
(
p
~
)
=
∏
i
=
1
g
(
p
)
p
~
i
e
p
~
i
(
p
~
i
∈
Spec
D
~
∖
{
0
}
,
e
i
>
0
∀
i
)
{\displaystyle \iota ({\tilde {p}})=\prod _{i=1}^{g({\mathfrak {p}})}{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}^{e_{{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}}\qquad ({\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\},\;e_{i}>0\forall i)}
그렇다면
e
p
~
{\displaystyle e_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
를
p
~
i
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}
의 분기 지표 (分岐指標, 영어 : ramification index )라고 한다.
또한, 잉여류체 에 대한 자연스러운 체의 확대 가 존재한다.
D
/
p
⊆
D
~
/
p
~
i
{\displaystyle D/{\mathfrak {p}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}
이 확대의 차수
f
p
~
{\displaystyle f_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
를
p
~
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}}
의 관성 차수 (慣性次數, 영어 : inertia degree )라고 한다.
f
p
~
=
[
D
~
/
p
~
i
:
D
/
p
]
{\displaystyle f_{\tilde {\mathfrak {p}}}=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}:D/{\mathfrak {p}}]}
그렇다면 다음과 같은 기본 항등식 (영어 : fundamental identity )이 성립한다.
[
L
:
K
]
=
∑
p
~
∈
Spec
D
~
∖
{
0
}
p
~
∣
p
e
p
~
f
p
~
∀
p
∈
Spec
D
∖
{
0
}
{\displaystyle [L:K]=\sum _{{\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}^{{\tilde {\mathfrak {p}}}\mid {\mathfrak {p}}}e_{\tilde {\mathfrak {p}}}f_{\tilde {\mathfrak {p}}}\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}}
힐베르트 이론
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만약 확대
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
가 갈루아 확대 라면, 이에 대한 힐베르트 이론 (Hilbert理論, 영어 : Hilbert theory )이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군
Gal
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)}
는
{
p
i
}
i
=
1
,
…
,
g
(
p
)
{\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{i}\}_{i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})}}
위에 추이적으로 작용 하며, 따라서 모든
i
{\displaystyle i}
에 대하여
e
i
{\displaystyle e_{i}}
및
f
i
{\displaystyle f_{i}}
가 일치한다. 즉,
[
L
:
K
]
=
e
(
p
)
f
(
p
)
g
(
p
)
∀
p
∈
Spec
D
∖
{
0
}
{\displaystyle [L:K]=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})g({\mathfrak {p}})\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}}
이다.
임의의
p
~
∈
Spec
D
~
∖
{
0
}
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}
의 분해군 (分解群, 영어 : decomposition group )
G
p
~
{\displaystyle G_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
는
Gal
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)}
의 작용에 대한
p
~
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}}
의 안정자군 이다.[1] :54, Definition I.9.2
p
~
∈
Spec
D
~
∖
{
0
}
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}
의 분해체 (分解體, 영어 : decomposition field )
Z
p
~
{\displaystyle Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
는 분해군에 의해 고정되는
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
의 원소들로 구성되는 체 이다.
Z
p
~
=
{
a
~
∈
K
~
:
σ
a
~
=
a
~
∀
σ
∈
G
p
~
}
{\displaystyle Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma {\tilde {a}}={\tilde {a}}\forall \sigma \in G_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}}
궤도-안정자군 정리 에 따라서, 모든
i
=
1
,
…
,
g
(
p
)
{\displaystyle i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})}
에 대하여 안정자군의 크기는 같다.
|
G
p
~
i
|
=
|
G
|
/
g
(
p
)
=
e
(
p
)
f
(
p
)
∀
i
=
1
,
…
,
g
(
p
)
{\displaystyle |G_{{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}|=|G|/g({\mathfrak {p}})=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})\forall i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})}
p
~
∈
Spec
D
~
∖
{
0
}
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}
가 주어졌고,
p
∈
Spec
D
∖
{
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}}
는
p
~
∣
ι
(
p
)
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}\mid \iota ({\mathfrak {p}})}
인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형
Gal
(
K
~
/
K
)
↠
Gal
(
(
D
~
/
p
~
)
/
(
D
/
p
)
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\twoheadrightarrow \operatorname {Gal} \left(({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\right)}
이 존재한다. 그 핵 을
p
~
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}}
의 관성군 (慣性群, 영어 : inertia group )
I
p
~
{\displaystyle I_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
이라고 하며, 이는 분해군의 부분군 이다.[1] :57, Definition I.9.5 관성군의 크기는 항상
e
(
p
)
{\displaystyle e({\mathfrak {p}})}
와 같으며, 갈루아 군
Gal
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)}
의 작용에 불변이다.
I
p
~
=
I
σ
⋅
p
~
=
e
(
p
)
∀
σ
∈
Gal
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle I_{\tilde {\mathfrak {p}}}=I_{\sigma \cdot {\tilde {\mathfrak {p}}}}=e({\mathfrak {p}})\forall \sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)}
마찬가지로,
p
~
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {p}}}}
의 관성체 (慣性體, 영어 : inertia field )
T
p
~
{\displaystyle T_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.
T
p
~
=
{
a
~
∈
K
~
:
σ
(
a
~
)
=
a
~
∀
σ
∈
I
p
~
}
{\displaystyle T_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in I_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}}
즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.
K
⊆
Z
p
~
⊆
T
p
~
⊆
K
~
{\displaystyle K\subseteq Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq T_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq {\tilde {K}}}
또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열 이 존재한다.
1
→
I
p
~
→
G
p
~
→
Gal
(
D
~
/
p
~
)
/
(
D
/
p
)
→
1
{\displaystyle 1\to I_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to G_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\to 1}
T
p
~
/
Z
p
~
{\displaystyle T_{\tilde {\mathfrak {p}}}/Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}}
는 갈루아 확대 이며, 그 갈루아 군 은
Gal
(
D
~
/
p
~
)
/
(
D
/
p
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})}
와 같다.
수체의 분기화
편집
데데킨트 정역
D
{\displaystyle D}
의 분수체
K
=
Frac
D
{\displaystyle K=\operatorname {Frac} D}
가 대수적 수체 일 경우를 생각하자. (
D
=
O
K
{\displaystyle D={\mathcal {O}}_{K}}
인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환 이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식 (영어 : relative discriminant )
Δ
K
~
/
K
{\displaystyle \Delta _{{\tilde {K}}/K}}
는
D
~
{\displaystyle {\tilde {D}}}
의 특별한 아이디얼이다.
그렇다면, 임의의
p
∈
Spec
D
∖
{
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
는 분기화된다.
p
∣
Δ
K
~
/
K
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid \Delta _{{\tilde {K}}/K}}
이다.
특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.
헨젤 값매김환의 분기화
편집
분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리 에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.
헨젤 값매김환
(
D
,
ν
,
m
)
{\displaystyle (D,\nu ,{\mathfrak {m}})}
의 분수체
K
=
Frac
D
{\displaystyle K=\operatorname {Frac} D}
의 유한 확대
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
K
{\displaystyle K}
의 값매김
ν
{\displaystyle \nu }
는
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
위에 다음과 같이 값매김
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
를 유도한다.[1] :149
ν
~
:
a
~
↦
1
[
K
~
:
K
]
ν
(
N
K
~
/
K
(
a
~
)
{\displaystyle {\tilde {\nu }}\colon {\tilde {a}}\mapsto {\frac {1}{[{\tilde {K}}:K]}}\nu (\operatorname {N} _{{\tilde {K}}/K}({\tilde {a}})}
여기서
N
K
~
/
K
{\displaystyle \operatorname {N} _{{\tilde {K}}/K}}
는 체 노름 이다. 이에 대한 값매김환을
D
~
=
{
a
~
∈
K
~
:
ν
~
(
a
~
)
≥
0
}
{\displaystyle {\tilde {D}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon {\tilde {\nu }}({\tilde {a}})\geq 0\}}
라고 하고, 그 극대 아이디얼을
m
~
{\displaystyle {\tilde {m}}}
이라고 하자.
이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.
ν
(
K
×
)
⊆
ν
~
(
K
~
×
)
{\displaystyle \nu (K^{\times })\subseteq {\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })}
그렇다면,
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
의 분기 지표
e
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle e({\tilde {K}}/K)}
는 두 값군 사이의 몫군 의 크기이다.
e
(
K
~
/
K
)
=
|
ν
~
(
K
~
×
)
/
ν
(
K
×
)
|
{\displaystyle e({\tilde {K}}/K)=|{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })/\nu (K^{\times })|}
마찬가지로, 잉여류체 들의 다음과 같은 확대 가 존재한다.
D
/
m
⊆
D
~
/
m
~
{\displaystyle D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}}
그렇다면,
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
의 관성 차수
f
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle f({\tilde {K}}/K)}
는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수 이다.
f
(
K
~
/
K
)
=
[
D
~
/
m
~
:
D
/
m
]
{\displaystyle f({\tilde {K}}/K)=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}:D/{\mathfrak {m}}]}
이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.[1] :150, Proposition II.6.8
[
K
~
:
K
]
≥
e
(
K
~
/
K
)
f
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle [{\tilde {K}}:K]\geq e({\tilde {K}}/K)f({\tilde {K}}/K)}
또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식 (영어 : fundamental identity )이라고 한다.
ν
{\displaystyle \nu }
는 이산 값매김 이며,
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
는 분해 가능 확대 이다.[1] :150, Proposition II.6.8
ν
{\displaystyle \nu }
는 이산 값매김 이며,
K
{\displaystyle K}
는
ν
{\displaystyle \nu }
에 대하여 완비 공간 이다.[1] :151
값매김환의 분기화
편집
데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환 의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
대신,
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
로 정의되는
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.
절댓값
|
−
|
ν
{\displaystyle |-|_{\nu }}
이 주어진 체
K
{\displaystyle K}
의 확대
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
가 주어졌다고 하자. 이 경우
ν
{\displaystyle \nu }
를
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다.
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
가
ν
{\displaystyle \nu }
의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여)
ν
~
∣
ν
{\displaystyle {\tilde {\nu }}\mid \nu }
로 쓴다.
만약
ν
{\displaystyle \nu }
가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표 와 상대 차수 를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한
K
{\displaystyle K}
와
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
의 값매김환 이
(
D
,
m
)
{\displaystyle (D,{\mathfrak {m}})}
및
(
D
~
,
m
)
{\displaystyle ({\tilde {D}},{\mathfrak {m}})}
라고 하자. 그렇다면, 분기 지표 는 다음과 같은 부분군의 지표 이다.[1] :165
e
ν
~
=
[
ν
~
(
K
~
×
)
:
ν
(
K
×
)
]
{\displaystyle e_{\tilde {\nu }}=[{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times }):\nu (K^{\times })]}
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
의 상대 차수 (영어 : relative degree )는 다음과 같은, 잉여류체 의 확대의 차수 이다.
f
ν
~
=
[
D
ν
~
/
m
ν
~
:
D
/
m
]
{\displaystyle f_{\tilde {\nu }}=[D_{\tilde {\nu }}/{\mathfrak {m}}_{\tilde {\nu }}:D/{\mathfrak {m}}]}
만약
ν
{\displaystyle \nu }
가 이산 값매김 을 정의하며,
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
가 분해 가능 확대 라면, 다음과 같은 기본 항등식 (영어 : fundamental identity )이 성립한다.[1] :165, Proposition II.8.5
∑
ν
~
∣
ν
e
ν
~
f
ν
~
=
[
L
:
K
]
{\displaystyle \sum _{{\tilde {\nu }}\mid \nu }e_{\tilde {\nu }}f_{\tilde {\nu }}=[L:K]}
값매김 힐베르트 이론
편집
K
~
/
K
{\displaystyle {\tilde {K}}/K}
가 갈루아 확대 라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.
(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리
ν
{\displaystyle \nu }
의 확장
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
이 주어졌을 때,
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
의 분해군
G
ν
~
{\displaystyle G_{\tilde {\nu }}}
은 갈루아 군
Gal
(
K
~
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)}
의 작용에 대한 안정자군 이다.[1] :167, Definition II.9.2
G
ν
~
=
{
σ
∈
Gal
(
K
~
/
K
)
:
ν
~
∘
σ
=
ν
~
}
{\displaystyle G_{\tilde {\nu }}=\{\sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\colon {\tilde {\nu }}\circ \sigma ={\tilde {\nu }}\}}
이는
|
−
|
ν
~
{\displaystyle |-|_{\tilde {\nu }}}
에 대하여 연속 함수 가 되는 자기 동형 들로 구성된다.[1] :171 이에 대한 고정점 들로 구성된 부분체를 분해체
Z
ν
~
{\displaystyle Z_{\tilde {\nu }}}
라고 한다.
Z
ν
~
=
{
a
~
∈
K
~
:
σ
(
a
~
)
=
a
~
∀
σ
∈
G
ν
~
}
{\displaystyle Z_{\tilde {\nu }}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in G_{\tilde {\nu }}\}}
만약
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군 과 분기군 을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환
(
D
,
m
)
{\displaystyle (D,{\mathfrak {m}})}
및
(
D
~
,
m
~
)
{\displaystyle ({\tilde {D}},{\tilde {\mathfrak {m}}})}
을 정의한다면, 체의 확대
D
/
m
⊆
D
~
/
m
~
{\displaystyle D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}}
는 갈루아 확대 임을 보일 수 있다.[1] :172, Proposition II.9.9 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군 으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형 을 가지며, 그 핵 을 비아르키메데스 자리
ν
~
{\displaystyle {\tilde {\nu }}}
의 관성군
I
ν
~
{\displaystyle I_{\tilde {\nu }}}
이라고 한다.
1
→
I
ν
~
→
G
ν
~
→
Gal
(
D
~
/
m
~
D
/
m
)
→
1
{\displaystyle 1\to I_{\tilde {\nu }}\to G_{\tilde {\nu }}\to \operatorname {Gal} \left({\frac {{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}}{D/{\mathfrak {m}}}}\right)\to 1}
이에 대한 고정점 으로 구성되는 부분체를 관성체
T
ν
~
{\displaystyle T_{\tilde {\nu }}}
라고 한다.
참고 문헌
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외부 링크
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