사영작용소

선형대수학에서 사영 작용소(射影作用素, 영어: projection operator)는 멱등 선형 변환이다.

정의

$V$가 벡터 공간이라고 하자. 선형 변환 $P\colon V\to V$가 $P^{2}=P$를 만족시키면, 이를 사영 작용소라고 한다.

분류

유한 차원 벡터 공간의 경우, 사영 작용소들은 벡터 공간의 부분 벡터 공간 및 그 여공간의 쌍과 일대일 대응한다. 임의의 사영 작용소 $P\colon V\to V$가 주어지면, 벡터 공간은 $P$의 상과 핵의 직합으로 나타내어진다. 즉,

$V=P(V)\oplus \ker P$

로 분해할 수 있다.

증명:

우선, 임의의 $a\in V$에 대하여, $Pa\in P(V)$이며, $a-Pa\in \ker P$이므로, $V=P(V)+\ker P$이다.

또한, 만약 $a\in P(V)\cap \ker P$라면, $a=Pb$인 $b\in V$가 존재하며,

$0=Pa=P^{2}b=Pb=a$

이다. 따라서 $P(V)\cap \ker P=\{0_{V}\}$이다.

이에 따라, 임의의 $a\oplus b\in P(V)\oplus \ker P$에 대하여

$P\colon a\oplus b\mapsto a\oplus 0$

이다.

증명:

만약 $a\in P(V)$라면, $a=Pb$인 $b\in V$가 존재하므로,

$Pa=P^{2}b=Pb=a$

이며, $a$는 $P$의 고정점이다.

즉, $P$는 주어진 벡터를 그 핵 $\ker P\subset V$을 따라 그 상 $P(V)\subset V$에 사영하는 작용소로 생각할 수 있다.

성질

사영 작용소의 고윳값은 0 또는 1이다. 그 중복도는 각각 $\dim \ker P$, $\dim P(V)$이다.

사영 작용소 $P$의 행렬 지수 함수는

$\exp P=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}P^{n}=1+(e-1)P$

이다.

내적 공간 $V$의 사영 작용소 $P\colon V\to V$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 최소 제곱법을 정의한다. 즉, 임의의 $b\in V$ 및 $Pb\neq a\in P(V)$에 대하여, $\Vert b-Pb\Vert <\Vert b-a\Vert$
• $\ker P$는 $P(V)$의 직교 여공간이다. 즉, 임의의 $a,b\in V$에 대하여, $\langle Pa,b-Pb\rangle =0$이다.
• 자기 수반 작용소이다.

응용

선형 최소 제곱법

내적 공간 $V$ 및 벡터 $b\in V$ 및 부분 벡터 공간 $W\subset V$이 주어졌다고 하자. 벡터 $Pb\in W$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $Pb$를 $b$의 $W$에 대한 최적 근사(最適近似, 영어: best approximation)라고 한다.

• 임의의 $a\in W$에 대하여, $\Vert b-Pb\Vert \leq \Vert b-a\Vert$
• $b-Pb\in W^{\perp }$

최적 근사는 존재한다면 유일하지만, 일반적으로 존재하지 않는다. 만약 $W$를 상으로 하는 자기 수반 사영 작용소 $P\colon V\to V$가 존재한다면, (이 경우 $P$의 핵은 직교 여공간 $W^{\perp }$이다.) 각 $b$의 $W$를 통한 최적 근사는 $Pb$이다. 특히, $W$가 유한 차원 벡터 공간이라면 이러한 자기 수반 사영 작용소는 항상 존재한다. 연립 일차 방정식의 최소 제곱법은 이에 대한 특수한 경우이다.

외부 링크

• “Projector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projector”. 《nLab》 (영어).