수학 에서 삼각수 (三角數, 영어 : triangular number )는 1부터 시작하는 연속된 자연수의 합을 나타내는 수이다. 이는 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열된 물체의 개수와 같다.
처음 6개의 삼각수
음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
삼각수
Tri
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n)}
Tri
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
=
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n)=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}}
처음 몇 삼각수는 다음과 같다.
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, ... (OEIS 의 수열 A000217 )
연산에 대한 닫힘
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두 정수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
임의의 삼각수
n
{\displaystyle n}
a
n
+
b
{\displaystyle an+b}
a
{\displaystyle a}
b
=
a
−
1
8
{\displaystyle \textstyle b={\frac {a-1}{8}}}
예를 들어, 만약
n
{\displaystyle n}
9
n
+
1
{\displaystyle 9n+1}
25
n
+
3
{\displaystyle 25n+3}
49
n
+
6
{\displaystyle 49n+6}
3번째와 4번째 삼각수의 합은 4번째 정사각수이다. 삼각수를 변의 길이로 하는 정사각형은 변의 길이가 1인 정사각형 1개, 변의 길이가 2인 정사각형 2개, 변의 길이가 3인 정사각형 3개 등으로 분할된다. 따라서 n 번째 삼각수의 제곱은 1부터 n 까지의 자연수의 세제곱의 합과 같다. 삼각수와 임의의
m
{\displaystyle m}
Pol
(
m
;
n
)
=
Tri
(
n
)
+
(
m
−
3
)
Tri
(
n
−
1
)
=
n
+
(
m
−
2
)
Tri
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Pol} (m;n)=\operatorname {Tri} (n)+(m-3)\operatorname {Tri} (n-1)=n+(m-2)\operatorname {Tri} (n-1)}
특히, 정사각수 와 육각수 및 팔각수 의 경우는 다음과 같다.
n
2
=
Tri
(
n
−
1
)
+
Tri
(
n
)
{\displaystyle n^{2}=\operatorname {Tri} (n-1)+\operatorname {Tri} (n)}
n
(
2
n
−
1
)
=
Tri
(
n
)
+
3
Tri
(
n
−
1
)
=
Tri
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle n(2n-1)=\operatorname {Tri} (n)+3\operatorname {Tri} (n-1)=\operatorname {Tri} (2n-1)}
n
(
3
n
−
2
)
=
6
Tri
(
n
−
1
)
+
n
{\displaystyle n(3n-2)=6\operatorname {Tri} (n-1)+n}
첫째 등식에 따라, 두 연속된 삼각수의 합은 정사각수이다. 두 연속된 홀수째 또는 짝수째 삼각수의 합은 다음과 같다.
Tri
(
n
−
1
)
+
Tri
(
n
+
1
)
=
2
Tri
(
n
)
+
1
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n-1)+\operatorname {Tri} (n+1)=2\operatorname {Tri} (n)+1}
삼각수는 선형 변환의 차이를 무시하면 홀수째 정사각수와 일치한다. 구체적으로, 다음이 성립한다.
(
2
n
+
1
)
2
=
8
Tri
(
n
)
+
1
{\displaystyle (2n+1)^{2}=8\operatorname {Tri} (n)+1}
삼각수는 다음과 같은 점화식을 갖는다.
Tri
(
m
+
n
)
=
Tri
(
m
)
+
Tri
(
n
)
+
m
n
{\displaystyle \operatorname {Tri} (m+n)=\operatorname {Tri} (m)+\operatorname {Tri} (n)+mn}
Tri
(
m
n
)
=
Tri
(
m
)
Tri
(
n
)
+
Tri
(
m
−
1
)
Tri
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (mn)=\operatorname {Tri} (m)\operatorname {Tri} (n)+\operatorname {Tri} (m-1)\operatorname {Tri} (n-1)}
조합론 적으로, 첫 번째 항등식의 좌변은
m
+
n
{\displaystyle m+n}
중복 조합 의 수이며, 우변은 이를 앞의
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Tri
(
2
n
)
=
3
Tri
(
n
)
+
Tri
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (2n)=3\operatorname {Tri} (n)+\operatorname {Tri} (n-1)}
Tri
(
2
n
−
1
)
=
Tri
(
n
)
+
3
Tri
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (2n-1)=\operatorname {Tri} (n)+3\operatorname {Tri} (n-1)}
Tri
(
3
n
−
1
)
=
3
Tri
(
n
)
+
6
Tri
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (3n-1)=3\operatorname {Tri} (n)+6\operatorname {Tri} (n-1)}
Tri
(
n
2
)
=
Tri
(
n
)
2
+
Tri
(
n
−
1
)
2
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n^{2})=\operatorname {Tri} (n)^{2}+\operatorname {Tri} (n-1)^{2}}
삼각수의 제곱은 1부터 시작하는 연속된 자연수의 세제곱 합과 같다. 구체적으로, 다음이 성립한다.
Tri
(
n
)
2
=
∑
k
=
1
n
k
3
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n)^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{3}}
삼각수의 합은 사면체수 로 주어진다. 구체적으로, 다음이 성립한다.
∑
k
=
1
n
Tri
(
k
)
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\operatorname {Tri} (k)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}
생성 함수
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삼각수는 다음과 같은 생성 함수 를 갖는다.
∑
n
=
0
∞
Tri
(
n
)
x
n
=
x
(
1
−
x
)
3
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Tri} (n)x^{n}={\frac {x}{(1-x)^{3}}}}
∑
n
=
0
∞
x
Tri
(
n
)
=
∏
n
=
1
∞
1
−
x
2
n
1
−
x
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{\operatorname {Tri} (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2n}}{1-x^{2n-1}}}}
수론적 성질
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삼각수의 임의의 정수에 대한 나머지에 대하여 다음이 성립한다.
Tri
(
n
+
4
k
)
≡
Tri
(
n
)
(
mod
2
k
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n+4k)\equiv \operatorname {Tri} (n){\pmod {2k}}}
Tri
(
n
+
2
k
+
1
)
≡
Tri
(
n
)
(
mod
2
k
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Tri} (n+2k+1)\equiv \operatorname {Tri} (n){\pmod {2k+1}}}
즉, 삼각수의 홀수에 대한 나머지는 그 홀수를 주기로 가지며, 짝수에 대한 나머지는 그 짝수의 2배를 주기로 가진다. 예를 들어, 처음 몇 삼각수의 2, 3, 4에 대한 나머지는 각각 다음과 같다.
[0,] 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ... (OEIS 의 수열 A133872 )
[0,] 1, 0, 0, 1, 0, 0, ... (OEIS 의 수열 A079978 )
0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0, ... (OEIS 의 수열 A105198 ) 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 페르마 다각수 정리 의 특수한 경우이며, 카를 프리드리히 가우스 가 1796년 (가우스의 일기에 따르면 7월 10일 )에 증명하였다.
정사각 삼각수 영어 : square triangular number )는 정사각수를 이루는 삼각수를 뜻한다. 정사각 삼각수를 찾는 문제는 다음과 같은 펠 방정식 의 해를 구하는 문제와 동치이다.
x
2
−
2
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}
정사각 삼각수는 무한히 많이 존재하며, 이들은 정확히 다음과 같다.
(
17
+
12
2
)
n
+
(
17
−
12
2
)
n
−
2
32
n
≥
0
{\displaystyle {\frac {(17+12{\sqrt {2}})^{n}+(17-12{\sqrt {2}})^{n}-2}{32}}\qquad n\geq 0}
이는 레온하르트 오일러 가 1730년에 증명하였다. 처음 몇 정사각 사각수와 이들의 정사각수 지표 및 삼각수 지표는 다음과 같다.
0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, ... (OEIS 의 수열 A001110 )
0, 1, 6, 35, 204, 1189, ... (OEIS 의 수열 A001109 )
0, 1, 8, 49, 288, 1681, ... (OEIS 의 수열 A001108 ) 세제곱수 를 이루는 삼각수는 0과 1을 제외하면 존재하지 않는다.
일화에 의하면, 카를 프리드리히 가우스 는 10살 때 1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 선생님의 말을 듣고, 이러한 합을 1+100, 2+99와 같이 합이 101이 되는 50쌍의 수의 합으로 전환하여 5050임을 구하였다. 그러나 이야기의 진위와 상관 없이, 가우스는 이를 최초로 발견한 자가 아니다.
같이 보기
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참고 문헌
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Deza, Figurate Numbers, 2012
Garge, Shirali, Triangular Numbers, Resonance, 2012 외부 링크
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