복소수 주극성화 아벨 다양체 가 주어졌다고 하자. 즉,
- 는 복소수 벡터 공간이다.
- 는 그 속의 (덧셈에 대한) 이산 부분군이다. 즉, 격자이다.
- 는 리만 형식이다. 즉, 반쌍선형 형식이며, 이다.
이 경우, 는 위의 2차 미분 형식이며, 드람 코호몰로지를 통해 정수 계수 2차 코호몰로지 의 원소를 정의한다. 이는 (1차 천 특성류를 통해) 어떤 정칙 선다발 에 대응하며, 이는 항상 풍성한 선다발이다. 이 선다발의 단면을 세타 함수라고 한다.
보다 구체적으로, 사영 사상 을 통하여, 의 당김 을 정의할 수 있다. 이는 자명한 정칙 선다발이며, 의 단면은 위의 다음과 같은 함수 방정식(函數方程式, 영어: functional equation)을 따르는 정칙 함수 로 주어진다.
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여기서
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는 일반적으로 군 준동형이 아니며, 다음 조건을 따른다.
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이는 군 준동형이 아니지만, 임의의 군 준동형 에 대하여 역시 위의 조건을 따른다. 즉, 이러한 들의 공간은 위의 아핀 공간이다.
이러한 함수 방정식을 따르는 정칙 함수를 세타 함수라고 한다.
야코비 세타 함수
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야코비 세타 함수(카를 구스타프 야코프 야코비의 이름에서 비롯됨)는 와 를 변수로 갖는 2변수 복소함수로, 는 임의의 복소수가 될 수 있지만 는 상반평면으로 제한되어 언제나 양의 허수부를 갖는다. 그 정의는 다음과 같다.
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여기서
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이다.
또한, 보통 다음과 같은 함수들을 정의한다.
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이를 다음과 같이 표기하기도 한다.
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야코비 세타 함수는 책마다 조금씩 다르게 정의하는 경우가 많으므로 주의하여야 한다.
야코비 세타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 임의의 에 대하여,
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즉, 야코비 세타 함수는 위에서, 방향으로 뒤틀어져 있는 해석적 선다발의 단면이다.
리만 세타 함수
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지겔 상반평면
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이 주어졌다고 하자. 리만 세타 함수(영어: Riemann theta function)
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는 다음과 같다.
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이 급수는 의 임의의 콤팩트 부분공간에서 균등수렴한다.
리만 세타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 임의의 에 대하여,
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일반적인 격자의 세타 함수
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양의 정부호 내적이 주어진 격자 가 주어졌다면, 이에 대응하는 세타 열(영어: theta series)
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를 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]:44–47
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이는 상반평면 위의 정칙함수이다. 만약 가 차원 짝 유니모듈러 격자라면, 이는 무게가 인 모듈러 형식을 이룬다. 홀 유니모듈러 격자의 세타 함수는 다음과 같은 모듈러 항등식들을 만족시킨다.[1]:186–187
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따라서 이는 합동 부분군 Γ0(4)에 대한 무게 의 모듈러 형식이다.[2]
예를 들어, 격자 에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.[1]:45
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마찬가지로, 격자 에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.
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참고 문헌
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같이 보기
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외부 링크
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