슈어 분해
선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.[1][2][3]
정의 편집
슈어 분해 편집
임의의 복소수 행렬 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 ( 는 켤레 전치).[2]:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3[3]:316, §8.5, Corollary
여기서
이 경우, 의 대각 성분들은 의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약 이 정규 행렬일 경우, 는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).
실수 슈어 분해 편집
임의의 실수 행렬 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 ( 은 전치 행렬).[2]:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1
여기서
이 경우, 의 고윳값은 의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은 의 대각 성분이다. 만약 의 모든 고윳값이 실수일 경우, 는 상삼각 행렬이 된다.[1]:656 만약 이 대칭 행렬일 경우, 는 대각 행렬이 된다.
일반화 슈어 분해 편집
임의의 두 복소수 행렬 , 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.[2]:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1
여기서
이 경우, 의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.
실수 일반화 슈어 분해 편집
임의의 두 복소수 행렬 , 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.[2]:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2
여기서
역사 편집
유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.
참고 문헌 편집
- ↑ 가 나 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.
- ↑ 가 나 다 라 마 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449.
- ↑ 가 나 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.
외부 링크 편집
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Schur decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.