체 K {\displaystyle K} 위의 유한 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 비퇴화 이차 형식
Q : V → K {\displaystyle Q\colon V\to K} 가 주어졌다고 하자. (만약 K {\displaystyle K} 의 표수 가 2가 아니라면, 이는 V {\displaystyle V} 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식 과 같다.) 그렇다면, 직교군 O ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)} 는 V {\displaystyle V} 위의 가역 선형 변환 들 가운데, Q {\displaystyle Q} 를 보존하는 것들로 구성된 군 이다.
O ( V , Q ) = { M ∈ GL ( V ) : Q ( u ) = Q ( M u ) ∀ u ∈ V } {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)=\{M\in \operatorname {GL} (V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}} 이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 K {\displaystyle K} 에 대한 대수군 이다. 또한, 만약 K {\displaystyle K} 가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군 을 이룬다.
만약 V {\displaystyle V} 가 n {\displaystyle n} 차원 벡터 공간이며, Q {\displaystyle Q} 가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 O ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {O} (n;K)} 로 쓴다.
실베스터 관성 법칙 에 의하여, 실수체 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } 위의 비퇴화 이차 형식 은 계량 부호수 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 O ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} 와 같이 쓴다.
특수직교군
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직교군에서 2차 순환군 으로 가는 다음과 같은 군 준동형 이 존재한다.
D : O ( n ; K ) → Z / 2 {\displaystyle D\colon \operatorname {O} (n;K)\to \mathbb {Z} /2}
D : M ↦ rank ( 1 − M ) ( mod 2 ) {\displaystyle D\colon M\mapsto \operatorname {rank} (1-M){\pmod {2}}} .이 준동형을 딕슨 불변량 (Dickson不變量, 영어 : Dickson invariant )이라고 한다. 만약 체의 표수 가 2가 아니라면 이는 행렬식 det : O ( n ; K ) → { ± 1 } {\displaystyle \det \colon \operatorname {O} (n;K)\to \{\pm 1\}} 과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)
특수직교군 (特殊直交群, 영어 : special orthogonal group ) SO ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;K)} 는 딕슨 불변량의 핵 이다.
SO ( n ; K ) = ker D = O ( n ; K ) / ( Z / 2 Z ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;K)=\ker D=\operatorname {O} (n;K)/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )} .즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬 의 리 군 이다. 만약 체의 표수 가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군 이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열 을 만족한다.
1 → Z / 2 Z → O ( n ; K ) → SO ( n ; K ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {O} (n;K)\to \operatorname {SO} (n;K)\to 1} .스핀 군과 핀 군
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특수직교군 SO ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열 을 만족시키는 유일한 연결 리 군 Spin ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)} 이 존재한다.
1 → Z / 2 Z → Spin ( n ) → SO ( n ; R ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1} .이 리 군 을 스핀 군 (영어 : spin group )이라고 한다.
n > 2 {\displaystyle n>2} 일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간 이다. (n = 2 {\displaystyle n=2} 일 경우는 물론 SO ( 2 ) = U ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\operatorname {U} (1)} 이고, 그 범피복 공간은 R {\displaystyle \mathbb {R} } 이다.)
마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군 (영어 : pin group )을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열 을 이룬다.
1 1 ↓ ↓ Z / 2 = Z / 2 ↓ ↓ 1 → Spin ( n ) → Pin ( n ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ ‖ 1 → SO ( n ) → O ( n ) → Z / 2 → 1 ↓ ↓ 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\mathbb {Z} /2&=&\mathbb {Z} /2\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (n)&\to &\operatorname {Pin} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\|\\1&\to &\operatorname {SO} (n)&\to &\operatorname {O} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}} 직교 리 대수
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실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군 을 이루며, 이에 대응하는 리 대수 를 정의할 수 있다. 이는 s o ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)} 또는 o ( n ; K ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;K)} 와 같이 쓴다 (K = R , C {\displaystyle K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } ).
s o ( n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;\mathbb {R} )} 는 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 실수 반대칭 행렬 들로 구성된 리 대수이며, s o ( n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;\mathbb {C} )} 는 정사각 복소수 반대칭 행렬 들로 구성된 리 대수이다.
s o ( n ; K ) = { M ∈ Mat ( n ; K ) : M ⊤ = − M } {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)=\{M\in \operatorname {Mat} (n;K)\colon M^{\top }=-M\}} 스피너 노름
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체 K {\displaystyle K} 위의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위의 이차 형식 Q {\displaystyle Q} 의 직교군 O ( V , Q ) {\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)} 에 대하여, 스피너 노름 (영어 : spinor norm )은 다음과 같은 군 준동형 이다.
N : O ( V , Q ) → K × / ( K × ) 2 {\displaystyle N\colon \operatorname {O} (V,Q)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
N ( R v ) = 1 ( Q ( v ) ≠ 0 ) {\displaystyle N(R_{v})=1\qquad (Q(v)\neq 0)} 여기서 R v {\displaystyle R_{v}} 는 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.
R v : u ↦ u − v Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) Q ( v ) {\displaystyle R_{v}\colon u\mapsto u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}} 직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
SO*(2n )
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s o ( 2 n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )} 은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.
우선, 체 K {\displaystyle K} 위의 2 n {\displaystyle 2n} 차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} 위에 심플렉틱 구조
Ω : V ⊗ K V → V {\displaystyle \Omega \colon V\otimes _{K}V\to V} 가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는
Ω = ( 0 n × n 1 n × n − 1 n × n 0 n × n ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}} 의 꼴이다. 그렇다면,
GL ( V ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)} 위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.
O ∗ ( V , Ω ) = { M ∈ GL ( V ; K ) : Ω ( M ⊤ u , v ) = Ω ( u , M v ) ∀ u , v ∈ V } {\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )=\left\{M\in \operatorname {GL} (V;K)\colon \Omega (M^{\top }u,v)=\Omega (u,Mv)\qquad \forall u,v\in V\right\}} 즉, Ω {\displaystyle \Omega } 를 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.
M Ω = Ω M {\displaystyle M\Omega =\Omega M} 마찬가지로,
SO ∗ ( V , Ω ) = SL ( V ) ∩ O ∗ ( V , Ω ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(V,\Omega )=\operatorname {SL} (V)\cap \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )} 이다.
그렇다면, 실수 리 대수 s o ∗ ( 2 n ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n;\mathbb {R} )} 는 s o ( 2 n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )} 의 실수 형태이다.
군론적 성질
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체 K {\displaystyle K} 에 대한 직교군의 중심 은 다음과 같다.
Z ( O ( n ; K ) ) = { + 1 n × n , − 1 n × n } {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}} 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 K {\displaystyle K} 의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, n {\displaystyle n} 이 홀수라면 그렇지 않다.
Z ( SO ( n ; K ) ) = { { + 1 n × n , − 1 n × n } 2 ∣ n { 1 n × n } 2 ∤ n ( char K ≠ 2 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (n;K))={\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}}\qquad (\operatorname {char} K\neq 2)} 중심에 대하여 몫군 을 취하면, 사영 직교군 (영어 : projective orthogonal group )
PO ( n ; K ) = O ( n ; K ) / Z ( O ( n ; K ) ) {\displaystyle \operatorname {PO} (n;K)=\operatorname {O} (n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))} 을 얻는다.
마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.
Z ( Spin ( n ; C ) ) = { Z / 2 n ≡ 1 , 3 ( mod 4 ) Z / 4 n ≡ 2 ( mod 4 ) ( Z / 2 ) ⊕ 2 n ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n;\mathbb {C} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\equiv 1,3{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&n\equiv 2{\pmod {4}}\\(\mathbb {Z} /2)^{\oplus 2}&n\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}
Z ( Spin ( p , q ; R ) ) = { Z / 2 p q ≢ 0 ( mod 4 ) Z / 4 p q ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q;\mathbb {R} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&pq\not \equiv 0{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&pq\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}} 리 이론적 성질
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복소수 리 군 SO ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 는 n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} 일 경우 단순 리 군 이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1} 이라면 B k {\displaystyle B_{k}} 에, 만약 n = 2 k {\displaystyle n=2k} 라면 D k {\displaystyle D_{k}} 에 해당하며, 그 딘킨 도표 는 다음과 같다.
B k : ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⇒ ∙ {\displaystyle B_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet }
D k : ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⟨ ∙ ∙ {\displaystyle D_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }} SO ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 는 SO ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 SO ( k , k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (k,k;\mathbb {R} )} 이며, 홀수 차수에서는 SO ( k + 1 , k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (k+1,k;\mathbb {R} )} 이다.
SO ( 2 k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )} 의 극대 원환면 은 다음과 같다.
( R 1 0 ⋱ 0 R k ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots \\0&&R_{k}\end{pmatrix}}} 여기서
R i = ( cos θ i − sin θ i sin θ i cos θ i ) {\displaystyle R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}} 는 2×2 회전 행렬이다. SO ( 2 k + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )} 의 극대 원환면 은 다음과 같다.
( R 1 0 ⋱ R k 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&&0\\&\ddots \\&&R_{k}\\0&&&1\end{pmatrix}}} SO ( 2 k + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )} 의 바일 군 은 반직접곱
Weyl ( SO ( 2 k + 1 ; R ) ) ≅ { ± 1 } k ⋊ Sym ( k ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k}\rtimes \operatorname {Sym} (k)} 이다. 여기서 ϵ = ( ϵ 1 , … , ϵ k ) ∈ { ± 1 } k {\displaystyle \epsilon =(\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}} 는
ϵ : θ i ↦ ϵ i θ i {\displaystyle \epsilon \colon \theta _{i}\mapsto \epsilon _{i}\theta _{i}} 와 같이 작용하며, 순열 σ ∈ Sym ( k ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (k)} 는
σ : θ i ↦ θ σ ( i ) {\displaystyle \sigma \colon \theta _{i}\mapsto \theta _{\sigma (i)}} 와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 ( ϵ 1 , … , ϵ k ) ∈ { ± 1 } k {\displaystyle (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}} 의 원소는 블록 대각 행렬
diag ( M ( ϵ 1 ) , … , M ( ϵ k ) , ∏ i = 1 k ϵ k ) ∈ SO ( 2 k + 1 ; R ) {\displaystyle \operatorname {diag} \left(M(\epsilon _{1}),\dots ,M(\epsilon _{k}),\prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\right)\in \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )}
M ( + 1 ) = ( 1 0 0 1 ) M ( − 1 ) = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle M(+1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad M(-1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} 이며, Sym ( k ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (k)} 의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 2 k × 2 k {\displaystyle 2k\times 2k} 치환행렬 에 ( 2 k + 1 , 2 k + 1 ) {\displaystyle (2k+1,2k+1)} 번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.
SO ( 2 k ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )} 의 바일 군은 반직접곱
Weyl ( SO ( 2 k ; R ) ) ≅ { ± 1 } k − 1 ⋊ Sym ( k ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k-1}\rtimes \operatorname {Sym} (k)} 이다. 포함 관계
Weyl ( SO ( 2 k ; R ) ) < Weyl ( SO ( 2 k + 1 ; R ) ) {\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))<\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))} 아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
1 → Weyl ( SO ( 2 k ; R ) ) → Weyl ( SO ( 2 k ; R ) ) → ϕ { ± 1 } → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )){\xrightarrow {\phi }}\{\pm 1\}\to 1} 이며, ϕ {\displaystyle \phi } 는 다음과 같다.
ϕ : ( ϵ 1 , … , ϵ k , σ ) ↦ ∏ i = 1 k ϵ k ∈ { ± 1 } {\displaystyle \phi \colon (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k},\sigma )\mapsto \prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\in \{\pm 1\}} 위상수학적 성질
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실수 직교군 O ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )} 은 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 차원의 리 군 이며, 콤팩트 공간 이다. 두 개의 연결 성분 을 가지며, 이들은 각각 행렬식 det M = ± 1 {\displaystyle \det M=\pm 1} 인 실수 직교행렬 들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간 인 실수 특수직교군 SO ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} 를 이룬다.
복소수 직교군 O ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {C} )} 은 복소수 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 차원(실수 n ( n − 1 ) {\displaystyle n(n-1)} 차원)의 복소수 리 군 이자 대수군 이다. n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트 하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분 을 가지며, 이는 각각 행렬식이 det M = ± 1 {\displaystyle \det M=\pm 1} 인 복소수 직교행렬 들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 SO ( n ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )} 를 이룬다.
실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군 은 다음과 같다.
π 1 ( SO ( n ; R ) ) ≅ π 1 ( SO ( n ; C ) ) ≅ { 1 n = 1 Z n = 2 Z / 2 n > 2 {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))\cong \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} ))\cong {\begin{cases}1&n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\\mathbb {Z} /2&n>2\end{cases}}} 이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 n = 2 {\displaystyle n=2} 에서는 R {\displaystyle \mathbb {R} } 를, n > 2 {\displaystyle n>2} 에서는 스핀 군 Spin ( n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (n)} 을 얻는다.
부정부호 실수 직교군 O ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )} (p , q > 0 {\displaystyle p,q>0} )는 네 개의 연결 성분을 가지며,
π 0 ( O ( p , q ; R ) ) = ( Z / 2 ) 2 {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))=(\mathbb {Z} /2)^{2}} 이다. 여기서 한 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 는 p {\displaystyle p} 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 q {\displaystyle q} 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. SO ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )} 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우
π 0 ( SO ( p , q ; R ) ) = { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , − 1 ) } ⊂ π 0 ( O ( p , q ; R ) ) {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))} 이다. SO ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )} 의 연결 부분군을 SO + ( p , q ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} )} 라고 한다.
부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
π 1 ( SO + ( p , q ; R ) ) = π 1 ( SO ( p ; R ) ) × π 1 ( SO ( q ; R ) ) {\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} ))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p;\mathbb {R} ))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q;\mathbb {R} ))} 보트 주기성
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호프 올뭉치
O ( n ) ↪ O ( n + 1 ) ↠ S n {\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}} 로 인하여, 만약 i < n − 1 {\displaystyle i<n-1} 이라면
π i ( O ( n ) ) ≅ π i ( O ( n + 1 ) ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {O} (n+1))} 이다.[1] :112 즉, 직교군의 호모토피 군 들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1] :113
π i ( O ( n ) ) = { 0 i ≡ 2 , 4 , 5 , 6 ( mod 8 ) Z / 2 i ≡ 0 , 1 ( mod 8 ) Z i ≡ 3 , 7 ( mod 8 ) ( i < n − 1 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}\qquad (i<n-1)} 이 주기성을 보트 주기성 (영어 : Bott periodicity )이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.
직교군
π0
π1
π2
π3
π4
π5
π6
π7
π8
π9 O(1)
ℤ/2
ℤ
0
0
0
0
0
0
0
0
O(2)
ℤ/2
ℤ
0
0
0
0
0
0
0
0
O(3)
ℤ/2
ℤ/2
0
ℤ
ℤ/2
ℤ/2
ℤ/12
ℤ/2
ℤ/2
ℤ/3
O(4)
ℤ/2
ℤ/2
0
ℤ2
(ℤ/2)2
(ℤ/2)2
(ℤ/12)2
(ℤ/2)2
(ℤ/2)2
(ℤ/3)2 O(5)
ℤ/2
ℤ/2
0
ℤ
ℤ/2
ℤ/2
0
ℤ
0
0
O(6)
ℤ/2
ℤ/2
0
ℤ
0
ℤ
0
ℤ
ℤ/24
ℤ/2
특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.
π i ( SO ( n ) ) ≅ { 0 i = 0 π i ( O ( n ) ) i > 0 {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {SO} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>0\end{cases}}}
π i ( Spin ( n ) ) ≅ { 0 i = 0 , 1 π i ( O ( n ) ) i > 1 ( n > 2 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0,1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>1\end{cases}}\qquad (n>2)}
π i ( Pin ( n ) ) ≅ { 0 i = 1 π i ( O ( n ) ) i ≠ 1 ( n > 2 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Pin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i\neq 1\end{cases}}\qquad (n>2)} 다음과 같은 무한 직교군 O ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )} 을 범주론적 쌍대극한 으로 정의할 수 있다.
O ( ∞ ) = lim → n O ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {O} (n)} 무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
π i ( O ( ∞ ) ) = { 0 i ≡ 2 , 4 , 5 , 6 ( mod 8 ) Z / 2 i ≡ 0 , 1 ( mod 8 ) Z i ≡ 3 , 7 ( mod 8 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (\infty ))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}} 이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간 과 호모토피 동치 이다.[1] :112, Theorem 1
O ( ∞ ) ≃ Ω 8 O ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )\simeq \Omega ^{8}\operatorname {O} (\infty )} 무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 의 직교군 O ( H ) {\displaystyle \operatorname {O} ({\mathcal {H}})} 는 O ( ∞ ) {\displaystyle \operatorname {O} (\infty )} 와 다르다. 작용소 노름 에 의한 위상을 주었을 때, O ( H ) {\displaystyle \operatorname {O} ({\mathcal {H}})} 는 축약 가능 공간 이며, 따라서 모든 호모토피 군 이 자명하다.[2]
π i ( O ( H ) ) = 0 ∀ i {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i} 포함 관계
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모든 n {\displaystyle n} 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
SO ( n ; R ) ⊂ SU ( n ) ⊂ USp ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {USp} (2n)}
SU ( n ; R ) ⊂ SO ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (2n)}
SO ( n − 1 ; R ) ⊂ SO ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n-1;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )} . 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수인 경우, 이는 SO ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 딘킨 도표 를 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수인 경우, 이는 SO ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} 의 딘킨 도표 에 ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표 로 만든 뒤, ∘ {\displaystyle \circ } 로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.
2 ∣ n : ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n / 2 − 3 − ∙ ⟨ ∙ ∙ → ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ n / 2 − 3 − ∙ ⇒ ∙ {\displaystyle 2\mid n\colon \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }\qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \Rightarrow \bullet }
2 ∤ n : ∙ − ∙ − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ ⌊ n / 2 ⌋ − 3 ⇒ ∘ → ∙ − ∙ ⊗ | − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ ⌊ n / 2 ⌋ − 3 ⇒ ∘ → ∙ − ∙ ⊗ | − ∙ − ⋯ − ∙ ⏞ ⌊ n / 2 ⌋ − 3 {\displaystyle 2\nmid n\colon \qquad \bullet -\bullet -\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}}
만약 또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
Spin ( 3 ) ⊂ G 2 {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\subset G_{2}}
Spin ( 9 ) ⊂ F 4 {\displaystyle \operatorname {Spin} (9)\subset F_{4}}
Spin ( 10 ) ⊂ E 6 {\displaystyle \operatorname {Spin} (10)\subset E_{6}}
Spin ( 12 ) ⊂ E 7 {\displaystyle \operatorname {Spin} (12)\subset E_{7}}
Spin ( 16 ) ⊂ E 8 {\displaystyle \operatorname {Spin} (16)\subset E_{8}} 6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형 (영어 : exceptional isomorphism )을 보인다.
1차원
O ( 1 ) ≅ Spin ( 1 ) ≅ Z / 2 {\displaystyle \operatorname {O} (1)\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \mathbb {Z} /2}
SO ( 1 ) ≅ PSO ( 1 ) ≅ 1 {\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {PSO} (1)\cong 1}
2차원
SO ( 2 ; R ) ≅ Spin ( 2 ) ≅ U ( 1 ) ≅ S 1 {\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {S} ^{1}}
SO + ( 1 , 1 ; R ) ≅ R {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }
3차원
SO ( 3 ; R ) ≅ PSO ( 3 ; R ) ≅ PSU ( 2 ) ≅ PUSp ( 2 ) ≅ R P 2 {\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {PUSp} (2)\cong \mathbb {RP} ^{2}}
Spin ( 3 ) ≅ SU ( 2 ) ≅ USp ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {USp} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}}
SO ( 3 ; C ) ≅ PSL ( 2 ; C ) ≅ PSp ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )}
SO + ( 2 , 1 ; R ) ≅ PSL ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
Spin + ( 2 , 1 ) ≅ SL ( 2 ; R ) ≅ Sp ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )}
4차원
SO ( 4 ; R ) ≅ ( SU ( 2 ) × SU ( 2 ) ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\cong \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)}
Spin ( 4 ) ≅ SU ( 2 ) × SU ( 2 ) ≅ S 3 × S 3 {\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}
PSO ( 4 ; R ) ≅ PSU ( 2 ) × PSU ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)}
PSO ( 4 ; C ) ≅ PSL ( 2 ; C ) × PSL ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}
SO + ( 3 , 1 ; R ) ≅ SO ( 3 ; C ) ≅ PGL ( 2 ; C ) ≅ PSL ( 2 ; C ) ≅ PSp ( 2 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )}
5차원
SO ( 5 ; R ) ≅ PSO ( 5 ; R ) ≅ PUSp ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PUSp} (4)}
Spin ( 5 ) ≅ USp ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}
SO + ( 3 , 2 ; R ) ≅ PSp ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )}
6차원
SO ( 6 ) ≅ SU ( 4 ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (6)\cong \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)}
PSO ( 6 ) ≅ PSU ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSO} (6)\cong \operatorname {PSU} (4)}
Spin ( 6 ) ≅ SU ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}
SO + ( 5 , 1 ; R ) ≅ PSO + ( 5 , 1 ; R ) ≅ PSL ( 2 ; H ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {H} )}
SO + ( 4 , 2 ; R ) ≅ SU ( 2 , 2 ) / ( Z / 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SU} (2,2)/(\mathbb {Z} /2)}
PSO + ( 4 , 2 ; R ) ≅ PSU ( 2 , 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2,2)}
SO + ( 3 , 3 ; R ) ≅ PSO + ( 3 , 3 ) ≅ PSL ( 4 ; R ) {\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(3,3)\cong \operatorname {PSL} (4;\mathbb {R} )} 홀수 표수 유한체 위에서의 직교군
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F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 가 표수가 2가 아닌 유한체 라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 위의 비퇴화 이차 형식 은 정확히 두 개의 동형류가 있다..
홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 α ∈ F q {\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} _{q}} 에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 과 a Q 1 {\displaystyle aQ_{1}} 의 꼴이다 (a ∈ F q {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}} 는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 O ( 2 k + 1 ; F q ) {\displaystyle \operatorname {O} (2k+1;\mathbb {F} _{q})} 은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형 과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 n / 2 {\displaystyle n/2} 인 것을 플러스형, n / 2 − 1 {\displaystyle n/2-1} 인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 O ± ( 2 k ; F q ) {\displaystyle \operatorname {O} ^{\pm }(2k;\mathbb {F} _{q})} 라고 쓴다.[3] :69–75
표수가 2가 아닌 유한체 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} (q = p k {\displaystyle q=p^{k}} , p {\displaystyle p} 소수 )의 직교군의 크기는 다음과 같다.[3] :72, (3.30)–(3.32)
| O ( 2 n + 1 ; F q ) | = 2 q n ∏ i = 0 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |\operatorname {O} (2n+1;\mathbb {F} _{q})|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
| O + ( 2 n ; F q ) | = 2 ( q n − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |\operatorname {O} ^{+}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
| O − ( 2 n ; F q ) | = 2 ( q n + ( − 1 ) n + 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) {\displaystyle |\operatorname {O} ^{-}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})} 표수 2에서의 직교군
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표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.
구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식 의 연관 대칭 쌍선형 형식 은 교대 쌍선형 형식 이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.