역격자

결정학에서, 브라베 격자의 역격자(逆格子, reciprocal lattice)는 원래 격자의 모든 격자 벡터와의 내적이 정수인 벡터들이 이루는 브라베 격자이다.

정의

$\Lambda \subset \mathbb {R} ^{n}$이 브라베 격자라고 하자. 즉, 유한한 수의 생성원을 가지고, 그 선형생성 부분공간(span)이 $\mathbb {R} ^{n}$ 전체인 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 $\Lambda$의 역격자 $\Lambda ^{-1}$는 다음과 같은 집합이다.

$\Lambda ^{-1}=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\colon \mathbf {v} \cdot \mathbf {u} \in \mathbb {Z} \forall \mathbf {u} \in \Lambda \}$.

$\Lambda ^{-1}$이 브라베 격자를 이룬다는 사실은 쉽게 확인할 수 있다.

역격자의 기저는 원래 격자의 기저들의 성분이 이루는 행렬의 역행렬이다. 즉, 원래 격자의 기저가 $\{\mathbf {a} _{i}\}$ ($i=1,\dots ,n$)이면, 역격자의 기저 $\{\mathbf {b} _{i}\}$는 다음을 만족한다.

$\left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\cdots \mathbf {b} _{n}\right]^{\top }=\left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\cdots \mathbf {a} _{n}\right]^{-1}.$

3차원에서는 역격자의 기저를 벡터곱을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}$

$\mathbf {b} _{2}={\frac {\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot (\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1})}}$

$\mathbf {b} _{3}={\frac {\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{3}\cdot (\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2})}}$.

수학과 결정학에서는 위와 같은 정의를 사용하지만, 고체물리학에서는 간혹 다음과 같은 정의를 사용하기도 한다.

$\Lambda ^{-1}=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\colon \mathbf {v} \cdot \mathbf {u} /2\pi \in \mathbb {Z} \forall \mathbf {u} \in \Lambda \}$.

이는 앞의 정의에 비교하여 벡터가 $2\pi$배 더 긴 것 밖에는 차이가 없다.