연접층

대수기하학과 복소기하학에서 연접 가군층(連接加群層, 영어: coherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules cohérent) 또는 단순히 연접층(連接層)은 유한 계수 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 연접 가군층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가지며, 카르탕 정리나 가가 정리 등 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.

벡터 다발은 수학의 여러 분야에서 아주 중요한 개념이다. 대수기하학에서 세르-스완 정리에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) 국소 자유 가군층에 대응한다. 그러나 주어진 위상 공간 $X$ 위에 주어진 벡터 다발과 선형 다발 사상의 범주 $\operatorname {Vect} (X)$는 아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 핵과 여핵은 항상 층으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, $E$가 $X$ 위의 $n$차원 실수 벡터 다발이고, $f\colon X\to \mathbb {R}$가 연속 함수라고 하자. 그렇다면 $f^{*}\colon E\to E$, $f^{*}\colon v\in E_{x}\mapsto f(x)v\in E_{x}$는 선형 다발 사상이다. 만약 $f$가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 $\ker f^{*}$는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 $\operatorname {coker} f^{*}\cong E$ 또한 $n$차원 벡터 다발이다. 그러나 $f$가 $x\in X$에서 0이라면, 이 점에서 $f^{*}$의 핵 $\ker f^{*}$는 0차원이 아니라 $n$차원이며, 반대로 $\operatorname {coker} f^{*}$는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 $f^{*}$의 핵과 여핵은 $X$ 벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, $\ker f^{*}$는 부분 공간 $f^{-1}(0)\subset X$ 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, $\operatorname {coker} f^{*}$는 부분 공간 $f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\})\subset X$ 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이 "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접 가군층이라고 한다.

정의

연접 가군층

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 다음 조건을 만족시킨다면, 연접 왼쪽 가군(連接-加群, 영어: coherent left module)이라고 한다.^{:140, Definition 4.51}

• 유한 생성 왼쪽 가군이다.
• 임의의 $R$-부분 가군 $N\subseteq M$에 대하여, 만약 $N$이 유한 생성 왼쪽 가군이라면, 유한 표시 왼쪽 가군이다. (즉, 임의의 $R$-가군 준동형 $R^{n}\to M$의 핵은 유한 생성 왼쪽 가군이다.)

마찬가지로 연접 오른쪽 가군(連接-加群, 영어: coherent right module)의 개념을 정의할 수 있다.

연접 가군의 개념을 국소화하면, 연접 가군층의 개념을 얻는다. 즉, 국소환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 ${\mathcal {F}}$를 연접 가군층이라고 한다.^{:208, Définition §2.2:47, (5.3.1)}

• ${\mathcal {O}}_{X}$-유한 생성 가군층이다.
• 임의의 열린집합 $U$, 임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 임의의 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 사상 $\phi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$에 대하여, (층으로서의) 핵 $\ker \phi$ 또한 ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$-유한 생성 가군층이다.

위 정의는 장피에르 세르나 알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의^:111는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

연접환과 연접 공간

환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 연접환(-連接環, 영어: left-coherent ring)이라고 한다.

• $_{R}R$는 연접 왼쪽 가군이다.^{:138, Definition 4.45} 즉, 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 유한 표시 왼쪽 가군이다.
• $R$ 위의 (유한 또는 무한 개의) 평탄 오른쪽 가군들의 직접곱은 평탄 오른쪽 가군이다.^{:139, Theorem 4.47:460, Theorem 2.1} (※왼쪽 가군이 아닌 것에 주의)
• 임의의 기수 $\kappa$에 대하여, 직접곱 $(R^{\kappa })_{R}$은 평탄 오른쪽 가군이다.^{:139, Theorem 4.47} (※왼쪽 가군이 아닌 것에 주의)
• $R$ 위의 모든 유한 표시 왼쪽 가군이 연접 왼쪽 가군이다.^{:140, Corollary 4.52}
• 임의의 $r\in R$ 및 유한 생성 왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {A}}$에 대하여, $r^{-1}{\mathfrak {A}}=\{s\in R\colon rs\in {\mathfrak {A}}\}$는 유한 생성 왼쪽 아이디얼이다.^{:142, Corollary 4.60(2)}
• 임의의 $r\in R$에 대하여 $\operatorname {Ann} (_{R}r)$는 유한 생성 왼쪽 아이디얼이며, 임의의 두 유한 생성 왼쪽 아이디얼의 교집합은 유한 생성 왼쪽 아이디얼이다.^{:142, Corollary 4.60(3)}

오른쪽 연접환(-連接環, 영어: right-coherent ring)도 마찬가지로 정의된다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

보다 일반적으로, 국소환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$에서, 만약 ${\mathcal {O}}_{X}$가 (스스로 위의 가군층으로서) 연접 가군층이라면, $(X,{\mathcal {O}}_{X})$를 연접 공간(連接空間, 영어: coherent space)이라고 한다.

스킴의 경우

$X$가 스킴이면 위의 일반적인 정의는 보다 명시적인 정의와 동일하다. ${\mathcal {O}}_{X}$-가군 층 ${\mathcal {F}}$이 준연접층임과 각각의 열린 아핀 부분 스킴 $U=\operatorname {Spec} A$ 위에서 제한 ${\mathcal {F}}|_{U}$이 $A$ 위에 가군 $M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})$과 관련된 층 ${\tilde {M}}$과 동형임이 동치이다.. $X$이 국소적 뇌터 스킴이면, ${\mathcal {F}}$가 연접층임과 ${\mathcal {F}}$가 준연접층이고 위의 가군 $M$을 유한 생성으로 볼 수 있음이 동치이다.

아핀 스킴 $U=\operatorname {Spec} A$에서 가군 $M$을 연관된 층 ${\tilde {M}}$으로 가져가며 $A$-가군에서 준연접층으로 가는 범주 동치가 있다. 역 동치는 $U$ 위의 준연접층 ${\mathcal {F}}$를 ${\mathcal {F}}$의 전역 단면의 $A$ -가군 ${\mathcal {F}}(U)$로 가져간다.

다음은 스킴에 대한 준연접층의 몇 가지 추가 특성이다.$X$가 스킴이고 ${\mathcal {F}}$가 그 위에서 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군이라 하자. 그러면 다음 명제들은 동치이다.

• ${\mathcal {F}}$가 준 연접층이다.
• $X$의 각 열린 아핀 부분 스킴 $U$에 대해, ${\mathcal {F}}|_{U}$는 ${\mathcal {O}}_{U}$-가군으로서 어떤 ${\mathcal {O}}(U)$-가군 $M$과 연관된 층 ${\tilde {M}}$과 동형이다.
• 덮개 $\{U_{\alpha }\}$의 각 $U_{\alpha }$에 대해, ${\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}$가 어떤 ${\mathcal {O}}(U_{\alpha })$-가군과 연관된 층과 동형인 $X$의 열린 아핀 덮개 $\{U_{\alpha }\}$가 존재한다.
• $X$의 각 열린 아핀 부분 스킴 $V\subseteq U$ 쌍에 대해, 자연 준동현사상

  ${\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}$

은 동형사상이다.

• $X$의 각 열린 아핀 부분 스킴 $U=\operatorname {Spec} A$와 각 $f\in A$에 대해, $f$가 영이아닌 $U$의 열린 부분 스킴을 $U_{f}$로 쓰면, 자연 준동형사상

  ${\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})$

은 동형사상이다. 이 준동형사상은 국소화의 보편성질로부터 온다.

성질

함의 관계

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

연접 가군층 ⊆^{:47, (5.3.2)} 유한 표시 가군층 ⊆^{:46, (5.2.5)} 준연접층 ∩ 유한 생성 가군층

국소 자유 가군층 ⊆ 준연접층^{:48, (5.4.1)}

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆^{:48, (5.4.1)} 연접 가군층 = 유한 표시 가군층 = 준연접층 ∩ 유한 생성 가군층

동치 조건

국소 뇌터 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 준연접층 ${\mathcal {F}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^:111

• ${\mathcal {F}}$는 연접 가군층이다.
• $X$의 어떤 아핀 열린 덮개 $\{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}$에 대하여, ${\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R_{i}}$는 ${\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}$-가군층으로서 어떤 $R_{i}$-유한 생성 가군으로부터 유도된 ${\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}$-가군층과 동형이다.

밂과 당김

스킴 사상에 대하여, 준연접층의 밂은 “거의 항상” 준연접층이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.

즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 스킴 $X$, $Y$
• 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

만약 $f$에 대한 가군층의 밂 $f_{*}$ 또는 당김 $f^{*}$이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

	당김	밂
준연접층	항상 성립	준콤팩트 준분리 사상
연접 가군층	$X$, $Y$: 국소 뇌터 스킴	$X$, $Y$: 뇌터 스킴 $f$: 유한 사상
유한 생성 가군층	항상 성립	유한형 사상
국소 자유 가군층	항상 성립	(없음)

연접 가군층의 아벨 범주

임의의 왼쪽 연접환 $R$ 위의 연접 왼쪽 가군들의 범주 $_{R}\operatorname {Coh}$는 아벨 범주이다. 보다 일반적으로, 임의의 환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 연접 가군층들의 범주 $\operatorname {Coh} (X)$는 아벨 범주이다. 즉, 핵과 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) 완비 범주나 쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유 가군층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접 가군층이 아니기 때문이다.

아핀 스킴 위의 연접층

뇌터 가환환 $R$에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.

• $R$ 위의 유한 생성 가군
• $R$ 위의 유한 계수의 국소 자유 가군
• $R$의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$위의 연접 가군층

또한, $R$ 위의 유한 생성 가군들의 범주 $\operatorname {fgMod} (R)$와 연접 가군층의 범주$\operatorname {Coh} (X)$는 서로 동치이다.

구체적으로, ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Coh} (X)$라면, 이에 대응하여 ${\mathcal {F}}|_{X}$는 ${\mathcal {O}}_{X}|_{X}\cong R$의 유한 생성 가군이다.

준연접층 범주

임의의 고정된 스킴에 대한 준연접층은 아벨 범주를 형성한다. 가버는 모든 스킴의 준연접층이 특히 좋은 성질을 가진 아벨 범주인 그로텐디크 범주를 형성함을 보여주었다. 준콤팩트 준분리 스킴 $X$(예: 체에 대한 대수 다형체)은 $X$ 위의 준연접층의 아벨 범주에 의해 동형사상을 기준으로 결정된다. 로젠버그는 의해 가브리엘의 결과를 일반화했다.

연접층의 기본 구조

• 환 달린 공간 $X$ 위의 ${\mathcal {O}}_{X}$ -가군 ${\mathcal {F}}$은 유한 랭크 국소 자유 또는 선형 다발이라고 한다. $X$의 모든 점에 대해 다음이 성립하는 열린 이웃 $U$이 있다: 제한 ${\mathcal {F}}|_{U}$이 ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$의 복사본들의 유한 직합과 동형이다. 만약에 ${\mathcal {F}}$가 $X$의 모든 점 근처 같은 랭크 $n$인 자유대상이면, 선형 다발 ${\mathcal {F}}$를 랭크 $n$이라 한다.

스킴 $X$ 위에서 이 층론적 의미의 선형 다발들은, 스킴 $E$와 사상 $\pi :E\to X$, 열린 집합 $U_{\alpha }$로 이뤄진 $X$의 덮개와 $U_{\alpha }$ 위에 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$에 대한 두 개의 동형 사상이 선형 자기 동형 사상을 기준으로 다른 $\pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }$로 주어진 동형사상을 고려하면 보다 기하학적인 방식으로 정의된 선형 다발과 동일하다.(비슷한 동치성은 복소 해석 공간에도 적용된다. ) 예를 들어, 주어진 선형 다발 $E$에 대해 이 기하학적 의미에서 대응하는 층 ${\mathcal {F}}$은 $X$의 열린 집합 $U$ 위에서, ${\mathcal {O}}(U)$ -가군 ${\mathcal {F}}(U)$가 사상 $\pi ^{-1}(U)\to U$의 단면 집합이도록 정의된다. 선형 다발의 다발론적 해석은 선형 다발(국소 뇌터 스킴에서)이 연접층의 아벨 범주에 포함된다는 이점이 있다.

• 국소 자유 층은 표준 ${\mathcal {O}}_{X}$ -가군 연산으로 갖춰 오지만 국소 자유 층을 돌려준다.

• $X=\operatorname {Spec} (R)$, $R$은 뇌터 환이라 하자. 그러면 $X$ 위의 선형 다발들은 $R$ 위의 유한 생성 사영 가군과 연관된 층이다. 또는 (동등하게) $R$ 위의 유한 생성 평탄 가군이다.

• $R$이 $\mathbb {N}$-등급 뇌터환일 때, $X=\operatorname {Proj} (R)$가 뇌터 환 $R_{0}$ 위의 사영 스킴이라 하자. 그럼 각 $\mathbb {Z}$ -등급 $R$ -가군 $M$은 ${\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}$이 $R[f^{-1}]_{0}$-가군 $M[f^{-1}]_{0}$와 관련된 층인 $X$ 위의 준연접층 ${\mathcal {F}}$를 결정한다. 여기서 $f$는 $R$의 양의 차수 동차 원소들이고 $\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}$는 $f$가 영이 아닌 궤적이다.

• 예를 들어 각 정수 $n$에 대해 , $R(n)$이 $R(n)_{l}=R_{n+l}$로 주어지는 등급 $R$ -가군이라 하자. 그럼 각 $R(n)$는 $X$ 위의 준연접층 ${\mathcal {O}}_{X}(n)$을 결정한다. 만약에 $R$이 $R_{1}$에 의해 $R_{0}$-대수로서 생성된다면, ${\mathcal {O}}_{X}(n)$는 $X$ 위의 선다발 (가역 다발)이다. 그리고 ${\mathcal {O}}_{X}(n)$는 ${\mathcal {O}}_{X}(1)$의 $n$ -번째 텐서승이다. 특히, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$는 사영 $n$ -공간에서 보편 선다발이라고 한다.

• 선형 다발이 아닌 $\mathbb {P} ^{2}$ 위의 연접층의 간단한 예는 다음 열에서 여핵에 의해 제공된다.

${\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0$

이는 두 다항식의 영점 궤적에 제한된 ${\mathcal {E}}$가 2차원 올을 갖고 다른 곳에서는 1차원 올을 가지기 때문이다.

• 이데알 층 : 만약 $Z$가 국소적 뇌터 스킴 $X$의 닫힌 부분 스킴이면, $Z$에서 영인 모든 정규 함수들의 층 ${\mathcal {I}}_{Z/X}$는 연접층이다. 마찬가지로, 만약 $Z$가 복소 해석 공간 $X$의 닫힌 해석 부분 공간이면, 이데알 층 ${\mathcal {I}}_{Z/X}$은 연접층이다.

• 국소적 뇌터 스킴의 $X$의 닫힌 부분 스킴 $Z$의 구조 층 ${\mathcal {O}}_{Z}$는 $X$ 위의 연접층으로 볼 수 있다. 정확히 말하면 직상층 $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$이다. 여기서 $i:Z\to X$는 포함 사상이다. 이는 복소 해석 공간의 닫힌 해석 부분 공간에 대해서도 마찬가지이다. 층 $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$는 열린 집합 $X-Z$의 점에서 0차원 올(아래에 정의됨)을 가지고, $Z$의 점에서 1차원 올을 가진다. $X$ 위의 연접층의 짧은 완전열이 있다:

$0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.$

• 선형 대수학의 대부분의 연산은 연접층을 보존한다. 특히, 환 달린 공간 $X$에서 두 연접층 ${\mathcal {F}}$와 ${\mathcal {G}}$의 텐서곱 층 ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$과 준동형 사상 층 ${\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$은 연접층이다.

• 준연접층의 간단한 반례가 0 함자에 의한 확장으로 제공된다. 예를 들어

$X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y$

에 대해 $i_{!}{\mathcal {O}}_{X}$을 고려하자. 이 층은 자명하지 않은 줄기를 가지고 있지만 전역 단면이 없기 때문에 준연접층이 아니다. 이는 아핀 스킴의 준연접층이 기저에 깔린 환에 대한 가군의 범주와 동일하고 adjunction이 전역 단면을 가져오기 때문이다.

연접층의 국소적 성질

한 점 $x$에서 ${\mathcal {F}}$의 성질이 $x$의 이웃에서 ${\mathcal {F}}$의 성질을 결정한다는 사실은 연접층 ${\mathcal {F}}$의 중요한 특징이다. 임의의 층에 더 많은 특징이 있다. 예를 들어, 나카야마 보조정리는 (기하학적 언어로) 다음과 같이 말한다. ${\mathcal {F}}$가 스킴 $X$ 위의 연접층이면, 한 점 $x$에서 $F$의 올 ${\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)$(잉여체 위의 벡터 공간 $k(x)$)가 0임과 ${\mathcal {F}}$가 $x$의 어떤 열린 이웃에서 0임이 동치이다. 관련된 사실은 연접층의 올의 차원이 위쪽-반연속이라는 것이다. 따라서 연접층은 열린 집합에서 일정한 랭크를 갖는 반면 낮은 차원의 닫힌 부분 집합에서는 랭크가 올라갈 수 있다.

같은 정신으로: 스킴 $X$ 위의 연접층 ${\mathcal {F}}$이 선형 다발임과 $X$의 모든 점 $x$에 대해 줄기 ${\mathcal {F}}_{x}$가 국소 환 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 위의 자유 가군임이 동치이다.

일반적인 스킴에서는 연접층이 (줄기가 아닌) 올만으로는 선형 다발인지 여부를 결정할 수 없다. 그러나 축소된 국소적 뇌터 스킴에서 연접층은 랭크가 국소적로 일정한 경우에만 선형 다발이다.

선형 다발의 예

스킴의 사상 $X\to Y$에 대해 $X$가 $Y$ 위에서 분리되어 있으면 $\Delta :X\to X\times _{Y}X$를 닫힌 몰입인 대각 사상이라 하자. 그리고 ${\mathcal {I}}$가 $X\times _{Y}X$ 안에서 $X$의 이데알 층이라 하자. 그러면 미분 형식 층 $\Omega _{X/Y}^{1}$은 $X$로 ${\mathcal {I}}$를 당김 $\Delta ^{*}{\mathcal {I}}$으로 정의할 수 있다. 이 층의 단면을 $Y$ 위에서 $X$의 제 1미분형식이라고 한다. 그리고 이들은 $X$에서 국소적으로 정규 함수 $f_{j}$, $g_{j}$들의 유한합 $\textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}$으로 쓸 수 있다. 만약에 $X$가 체 $k$에 대해 국소적으로 유한 유형이면, $\Omega _{X/k}^{1}$는 $X$에서 연접층이다.

만약에 $X$가 $k$ 위에서 매끄러우면, $\Omega ^{1}$ ($\Omega _{X/k}^{1}$를 의미)는 $X$ 위의 선형 다발이고, $X$의 여접다발이라고 부른다. 그러면 접다발 $TX$는 쌍대 다발 $(\Omega ^{1})^{*}$로 정의된다. $k$ 위에서 매끄럽고 모든 곳에서 $n$차원인 .$X$에 대해 접다발은 랭크 $n$를 갖는다.

만약에 $Y$가 $k$ 위의 매끄러운 스킴 $X$의 매끄러운 닫힌 부분 스킴이면, $Y$ 위에서 선형 다발의 짧은 완전열이 있다:

$0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,$

이를 $X$ 안에서 $Y$에 대한 법다발 $N_{Y/X}$의 정의로 사용할 수 있다.

체 $k$ 위에서 매끄러운 스킴 $X$와 자연수 $i$,에 대해, $X$ 위의 제 $i$미분 형식의 선형 다발 $\Omega ^{i}$은 $i$ -여접다발의 외승, $\Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}$과 같이 정의된다. $k$ 위에서 $n$차원 매끄러운 다형체 $X$에 대해, 표준 다발 $K_{X}$은 선다발$\Omega ^{n}$을 의미한다. 따라서 표준 다발의 단면은 의 대수-기하학적에서 미분기하학의 부피 형식과 비슷한 개념이다. 예를 들어, $k$ 위에서 아핀 공간 $\mathbb {A} ^{n}$의 표준 다발 단면은

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},$

로 쓸 수 있다. 여기서 $f$는 계수가 $k$의 원소인 다항식이다.

$R$이 가환환이고 $n$을 자연수라 하자. 각 정수 $j$에 대해 , ${\mathcal {O}}(j)$라고 불리는, $R$ 위에서 사영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$에 선다발의 중요한 예가 있다. 이를 정의하기 위해 어떤 $R$ -스킴의 사상을 고려하자:

$\pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}$

이는 좌표로 표현하면 $(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]$로 주어진다. (즉, 사영 공간을 아핀 공간의 1차원 선형 부분 공간의 공간으로 생각하면 아핀 공간에서 0이 아닌 점을 연결하는 선으로 보낸다.) 그러면 $\mathbb {P} ^{n}$의 열린 부분 집합 $U$ 위의 ${\mathcal {O}}(j)$의 단면은 $\pi ^{-1}(U)$ 위에서 $j$차 동차 정규 함수 $f$로 정의된다. 이는 $\mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)$ 위의 정규 함수로서

$f(ax)=a^{j}f(x)$

가 성립함을 뜻한다. 모든 정수 $i$, $j$에 대해, $\mathbb {P} ^{n}$ 위의 선다발의 동형 ${\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)$이 있다.

특히, $R$ 위에서 모든 $j$차 동차 다항식 $x_{0},\ldots ,x_{n}$은 $\mathbb {P} ^{n}$ 위에서 ${\mathcal {O}}(j)$의 전역 단면으로 볼 수 있다. 사영 공간의 모든 닫힌 부분 스킴은 동차 다항식의 어떤 모임의 영점 집합으로 정의될 수 있으므로 선다발 ${\mathcal {O}}(j)$의 어떤 단면의 영점 집합으로 정의될 수 있다. 이는 닫힌 부분 스킴이 단순히 어떤 정규 함수 모음의 영점 집합인 단순한 아핀 공간의 경우와 대조된다. $R$ 위의 사영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$의 정규 함수들은 단지 "상수"(환 $R$ )이며, 따라서 선다발 ${\mathcal {O}}(j)$을 고려하는 것이 필수적이다. .

세르는 아핀 공간에서 연접층보다 더 미묘한 사영 공간의 모든 연접층에 대한 대수적 설명을 제공했다. $R$이 뇌터 환(예: 체)이라 하고, $x_{i}$ 각각이 1등급인 등급환으로서 다항식 환 $S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$를 고려하자. 그러면 모든 유한 생성 등급 $S$-가군 $M$은 연관된 $R$ 위의 $\mathbb {P} ^{n}$에서의 연접층 ${\tilde {M}}$을 가지고 있다. $\mathbb {P} ^{n}$에서의 모든 연접층은 유한 생성 등급 $S$-가군 $M$에서 이러한 방식으로 발생한다.(예를 들어, 선다발 ${\mathcal {O}}(j)$은 $j$로 등급이 낮아진 $S$-가군 $S$와 연관된 층이다.) 하지만 $\mathbb {P} ^{n}$ 위에서 주어진 연접층을 생성하는 $S$-가군 $M$은 유일하지 않고, $M$을 기껏해야 유한하게 많은 등급에서만 0이 아닌 임의의 등급 가군으로 바꾼 것들을 동치로 보았을 때 유일하다. 보다 정확하게, $\mathbb {P} ^{n}$ 위의 연접층의 아벨 범주는 유한 생성 등급 $S$ -가군 범주를 기껏해야 유한하게 많은 등급에서만 0이 아닌 가군 범주의 세르 부분 범주로 자른 몫이다.

체 $k$ 위의 사영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$의 접다발은 선다발 ${\mathcal {O}}(1)$의 측면에서 설명할 수 있다. 즉, 다음 짧은 완전열인 오일러 수열이 있다.

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.$

표준 다발 $K_{\mathbb {P} ^{n}}$(접다발의 행렬식 다발의 쌍대)는 ${\mathcal {O}}(-n-1)$과 동형이다. 이것은 대수 기하학의 기본 계산이다. 예를 들어, 표준 다발이 풍부한 선다발 ${\mathcal {O}}(1)$의 음의 배수라는 사실은 사영 공간이 파노 다형체임을 의미한다. 복소수에 대해 이것은 사영 공간에 양의 리치 곡률을 갖는 켈러 계량이 있음을 의미한다.

초곡면의 선형 다발

$d$차 동차 다항식 $f$에 의해 정의된 매끄러운 $d$차원 초곡면 $X\subset \mathbb {P} ^{n}$를 고려하자. 그러면 다음 완전열이 있다.

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0$

여기서 두 번째 사상은 미분 형식의 당김이고 첫 번째 사상은

$\phi \mapsto d(f\cdot \phi )$

이 열은 ${\mathcal {O}}(-d)$가 $\mathbb {P} ^{n}$에서 $X$의 여법층임을 알려준다. 이것을 쌍대화하면 완전열

$0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0$

이 생성된다. 따라서 ${\mathcal {O}}(d)$는 $\mathbb {P} ^{n}$에서 $X$의 법다발이다. 랭크 $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ 선형 다발들의 완전열이 주어진 사실을 사용하면

$0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0$

다음과 같은 선다발 동형사상이 있다:

$\Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}$

그러면, 동형사상

$i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)$

이 있음을 알 수 있다. 이는

$\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)$

를 보여준다.

세르 구성 및 선형 다발

랭크 2 선형 다발을 구성하는 유용한 방식 중 하나는, 매끄러운 사영 다형체 $X$ 위의 랭크 2 선형 다발 ${\mathcal {E}}$와 여차원 2인 부분 다형체 $Y$ 사이의 대응 관계를 $X$ 위의 특정 ${\text{Ext}}^{1}$-군 계산을 이용해 설정하는 세르 구성 ^{pg 3}이다. 이는 선다발 $\wedge ^{2}{\mathcal {E}}$의 코호몰로지 조건에 의해 제공된다.(아래 참조).

한 방향의 대응은 다음과 같이 제공된다. 단면 $s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})$에 대해 영점 궤적 $V(s)\subset X$을 연관시킬 수 있다. 만약에 $V(s)$가 여차원 2인 부분 다형체이면,

1. 이는 국소적 완전 교차점이다. 즉, 아핀 좌표 조각 $U_{i}\subset X$를 사용하면, $s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})$는 함수 $s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}$로 나타낼 수 있다. 여기서 $s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))$ 이고$V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})$.
2. 선다발 $\omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}$은 $V(s)$ 위의 표준 다발$\omega _{V(s)}$과 동형이다.

다른 방향에서, 여차원 2인 부분 다형체 $Y\subset X$과 다음과 같은 선다발 ${\mathcal {L}}\to X$

1. $H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0$
2. $\omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}$

에 대해, 표준 동형사상

${\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})$

이 있다. 이는 여차원 $2$인 부분 다형체 포함 사상에 대해 함자적이다. 더욱이, 왼쪽에 주어진 모든 동형은 오른쪽 확장의 중간에 국소 자유 층에 해당한다. 즉, 동형사상 $s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})$에 해당하는 다음 짧은 완전열에 맞는 랭크 2 국소 자유 다발 ${\mathcal {E}}$이 있다:

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0$

그러면 이 선형 다발은 안정적인지 여부를 결정하기 위해 코호몰로지 불변량을 사용하여 추가로 연구할 수 있다. 이것은 주극화된 아벨 다형체와 K3 곡면 같은 많은 특정 경우에서 안정적인 선형 다발의 모듈라이 공간을 연구하기 위한 기초를 형성한다.

예

대수기하학

모든 왼쪽 뇌터 환은 왼쪽 연접환이며, 오른쪽 뇌터 환은 오른쪽 연접환이다.^{:138, Example 4.46(a)} 국소 뇌터 스킴은 연접 공간이다. 즉, 그 구조층은 연접 가군층을 이룬다. (^{:111, Example II.5.2.1}에는 모든 스킴의 구조층이 연접 가군층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접 가군층의 정의는 여기서 정의된 연접 가군층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

국소 뇌터 스킴 $X$의 아이디얼 층은 (연접층 ${\mathcal {O}}_{X}$의 부분 가군층이므로) 연접층이다. 특히, 국소 뇌터 스킴의 닫힌 부분 스킴 $Y\subseteq X$에 대응하는 아이디얼 층은 연접층이다.

복소기하학

오카 연접성 정리(영어: Oka coherence theorem)에 따르면, 복소다양체 $M$ 위의 정칙 함수의 층은 연접 가군층이다. 보다 일반적으로, $M$ 위의 해석적 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$이 주어졌을 때, $E$의 단면층은 연접 가군층이다.

뇌터 환이 아닌 연접환

$R$가 왼쪽 뇌터 환일 경우, 임의의 집합 $I$에 대하여 다항식환 $R[x_{i}]_{i\in I}$는 항상 왼쪽 연접환이지만, 만약 $I$가 무한 집합이라면 이는 왼쪽 뇌터 환이 아니다.

연접층 코호몰로지

연접층의 코호몰로지 이론은 대수기하학에서 근본적인 방법이다. 1950년대에야 도입되었지만 대수 기하학의 많은 초기 방법은 연접층에 적용된 층 코호몰로지로 명확해진다. 대체로 말하면, 연접층 코호몰로지는 지정된 성질을 가진 함수를 생성하는 방법으로 볼 수 있다. 선다발 또는 보다 일반적인 층의 단면은 일반화된 함수로 볼 수 있다. 해석적 복소기하학에서도 연접층 코호몰로지는 근본적인 역할을 한다.

연접층 코호몰로지의 핵심 결과로는 코호몰로지의 유한 차원성에 대한 결과, 다양한 경우에 코호몰로지가 사라지는 결과, 세르 쌍대성 등의 쌍대성 정리, 호지 이론 등 위상 수학과 대수 기하학의 관계, 리만-로흐 정리와 같은 연접층의 오일러 지표 공식 등이 있다.

역사

연접 가군층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.

1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.

외부 링크

• “Coherent sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Coherent algebraic sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Coherent analytic sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Coherent ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Coherent sheaf”. 《nLab》 (영어). 
• “Coherent module”. 《nLab》 (영어). 
• “Coherent object”. 《nLab》 (영어). 
• “Coherent cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Affine Serre's theorem”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 7월 30일). “Analytic spaces”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “Is Noetherian condition always needed when speaking of a coherent sheaf?” (영어). StackOverflow. 
• “Is the category of coherent sheaves some kind of abelian envelope of the category of vector bundles?” (영어). Math Overflow. 
• “Criteria for coherence of rings” (영어). Math Overflow.