영 타블로

조합론과 표현론에서 영 타블로(영어: Young tableau; 복수: tableaux)는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

정의

페러스 그림(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.

페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.

영 타블로(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.

영 타블로의 예.

표준 영 타블로(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

• 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
• 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

준표준 영 타블로(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

• 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
• 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, $(i,j)$번째 칸의 고리 길이(영어: hook length) $\operatorname {hook} (i,j)$는 $i'\geq i,j=j'$ 또는 $i'=i,j'\geq j$인 칸 $(i',j')$ (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.

페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

표현론에서의 응용

대칭군

대칭군 $S_{n}$의 복소수 기약 표현은 총 $n$개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.

• 각 칸의 숫자는 $1,\dots ,n$ 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.

이 경우, $S_{n}$ 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

$\dim r={\frac {n!}{\prod _{i,j}\operatorname {hook} (i,j)}}$

예를 들어, S₄의 기약 표현들은 다음과 같다.

페러스 그림	고리 길이	S4 표현 차원
□□□□	4321	1
□□□ □	421 1	3
□□ □□	32 21	2
□□ □ □	41 2 1	3
□ □ □ □	4 3 2 1	1

선형군과 유니터리 군

일반선형군 $GL(n,\mathbb {C} )$의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

• 각 열의 길이는 $n$ 이하다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.

• 각 칸의 숫자는 $1,\dots ,n$ 가운데 하나다.

이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\dim r=\prod _{(i,j)}{\frac {n-i+j}{\operatorname {hook} (i,j)}}$

특수선형군 $SL(n,\mathbb {C} )$의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

• 각 열의 길이는 $n$ 미만이다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 $SU(n)$의 복소화는 특수선형군 $SL(n,\mathbb {C} )$이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.

페러스 그림	고리 길이	SU(n) 표현 차원
·	·	1
□	1	$n$
□□	21	$n(n+1)/2$
□ □	2 1	$n(n-1)/2$
□□□	321	$n(n+1)(n+2)/6$
□□ □	31 1	$n(n^{2}-1)/3$
□ □ □	3 2 1	$n(n-1)(n-2)/6$

이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면

• 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
• 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

$T^{ijklm}$

꼴의 텐서에 대응한다. 이는

$T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}$

의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

직교군

SO(n)의 경우, $\operatorname {SO} (n)\subset \operatorname {SU} (n)$을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

• 각 열의 길이가 $\lfloor n/2\rfloor$

만약 $n$이 짝수이고, 길이가 $n/2$인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(영어: self-dual, SD) 및 반자기쌍대(영어: anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. $i$번째 열의 길이를 $r_{i}$, $i$번째 행의 길이를 $c_{i}$라고 하자 ($i\geq 1$). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)을 정의하자.^:10

$C(i,j)={\begin{cases}r_{i}+r_{j}-i-j&i\geq j\\-c_{i}-c_{j}+i+j-2&i<j\end{cases}}$

그렇다면 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.^{:Cor. 13, Cor. 17, Remark 18}

$\dim r=\sum _{(i,j)}{\frac {n+C(i,j)}{\operatorname {hook} (i,j)}}$

만약 $n$이 짝수이며 길이가 $n/2$인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 $n$차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

• 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
• 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

$T^{ijklm}$

꼴의 텐서에 대응하며,

$T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}$

$0=\delta _{ij}T^{ijklm}=\delta _{ik}T^{ijklm}=\delta _{jk}T^{ijklm}=\delta _{lm}T^{ijklm}$

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

SO(n)의 경우, SU(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.

페러스 그림	고리 길이	내용	SO(n) 표현 차원	페러스 그림	Spin(n) 표현 차원 ($n>6$)
·	·	·	1	· (s)	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }$
□	1	+0	$n$	□ (s)	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(n-1)$
□□	21	+2 −1	$(n+2)(n-1)/2$	□□ (s)	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }n(n-1)/2$
□ □	21	+0 −1	$n(n-1)/2$	□ (s) □	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }n(n-3)/2$
□□□	321	+4 −1 +0	$(n+4)(n-1)n/6$	□□□ (s)	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }n(n-1)(n+1)/6$
□□ □	31 1	+2 −2 +0	$(n+2)(n-2)n/3$	□□ (s) □	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(n-2)(n-1)(n+3/2)$
□ □ □	3 2 1	+0 −1 −2	$n(n-1)(n-2)/6$	□ (s) □ □	$2^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }n(n-1)(n-5)/6$

예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

스핀	0	½	1	1½	2	2½	3	3½
차원	1	2	3	4	5	6	7	8
SU(2) 영 타블로	·	□	□□	□□□	□□□□	□□□□□	□□□□□□	□□□□□□□□
SO(3) 영 타블로	·	· (s)	□	□ (s)	□□	□□ (s)	□□□	□□□ (s)

마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

차원	1	4	4	6	10	10
SU(4) 영 타블로	·	□	□ □ □	□ □	□□	□□ □□ □□
SO(6) 영 타블로	·	· (s)	· (s)	□	□ (SD) □ □	□ (ASD) □ □

마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다.

스핀	(0, 0)	(½, 0)	(0, ½)	(½, ½)	(1, 0)	(0, 1)	(1, ½)	(½, 1)	(1½, 0)	(0, 1½)	(1, 1)	(1½, ½)	(½, 1½)	(2, 0)	(0, 2)
SU(2) 영 타블로	(·, ·)	(□, ·)	(·, □)	(□, □)	(□□, ·)	(·, □□)	(□□, □)	(□, □□)	(□□□, ·)	(·, □□□)	(□□, □□)	(□□□, □)	(□, □□□)	(□□□□, ·)	(·, □□□□)
SO(4) 영 타블로	·	s	s	□	□ (SD) □	□ (ASD) □	□ (s)	□ (s)	□ (s) □	□ (s) □	□□	□□ (SD) □	□□ (ASD) □	□□ (SD) □□	□□ (ASD) □□

심플렉틱 군

짝수 $n$에 대하여, USp(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우

$\operatorname {USp} (n)\subset \operatorname {SU} (n)$

을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

• 각 열의 길이가 $n/2$ 이하이다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 $\lambda$의 행의 길이가 $r_{1},r_{2},\dots$이며, 열의 길이가 $c_{1},c_{2},\dots$라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)를 정의하자.^:6

$C(i,j)={\begin{cases}r_{i}+r_{j}-i-j+2&i>j\\-c_{i}-c_{j}+i+j&i\leq j\end{cases}}$

그렇다면 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.^{:Cor. 9}

$\dim r=\prod _{(i,j)}{\frac {n+C(i,j)}{\operatorname {hook} (i,j)}}$

영 타블로의 각 칸은 $n$차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

• 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
• 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, $\omega _{\mu \nu }$에 의한 축약이 모두 0이다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

$T^{ijklm}$

꼴의 텐서에 대응하며,

$T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}$

$0=\omega _{il}T^{ijklm}=\omega _{jm}T^{ijklm}=0$

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

페러스 그림	고리 길이	내용	USp(n) 표현 차원
·	1
□	1	0	$n$
□□	21	+0 +1	$n(n+1)/2$
□ □	2 1	−2 +1	$(n-2)(n+1)/2$
□□□	321	+0 +1 +2	$n(n+1)(n+2)/6$
□□ □	31 1	−2 +0 +2	$(n-2)n(n+2)/3$
□ □ □	3 2 1	−4 +0 +1	$(n-4)n(n+1)/6$

예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.

차원	1	4	5	10	14	16
SO(5) 영 타블로	·	· (s)	□	□ □	□□	□ (s)
USp(4) 영 타블로	·	□	□ □	□□	□□ □□	□□ □

역사

영국의 수학자 앨프리드 영(영어: Alfred Young)이 1900년에 도입하였다.

참고 문헌

• Yong, Alexander (2007년 2월). “What is … a Young tableau?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (2): 240–241. 
• Fulton, William (1997). 《Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-56724-6. MR 1464693. Zbl 0878.14034. 
• Cvitanović, Predrag (2008). 《Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups》 (영어). Princeton University Press. ISBN 9780691118369. MR 2418111. Zbl 1152.22001. 
• Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group Theory: A Physicist’s Survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001.