점 분포 모델

점 분포 모델(point distribution model)은 특정 물체의 형태(shape)을 수개의 학습 데이터로부터 평균 형태와 그에 따른 통계적 유형으로 표현하는 모델을 의미한다. 이 때, 유형의 개수는 형태의 차원보다 작은 숫자로 평균 형태 유형의 선형 조합으로 학습 데이터의 형상을 표현할 수 있다.

배경

점 분포 모델은 Cootes Taylor et al.가 제안하였고, 이는 능동적 형태 모델(active shape model)과 능동적 외양 모델(active appearance model)에 사용되었다.

자세히

특정 물체(예: 얼굴)를 포함하고 있는 모든 학습영상에 대해 같은 위치에 k개의 점(landmark)이 찍혀 있어야 한다. 이 작업은 주로 수작업으로 이루어지기 때문에 매우 지루한 작업이지만 점 제대로 된 분포 모델의 생성을 위한 필수 작업이다. 학습 영상에서 물체의 위치, 크기, 회전 등이 다르기 때문에 일반적 프로크루스테스 분석(generalized procrustes analysis)으로 정규화한다. $k$개의 정규화된 2차원 점들은

$\mathbf {X} =(x_{1},y_{1},\ldots ,x_{k},y_{k}),\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{2k}$.

모든 학습데이터를 모아 이에 대한 평균을 ${\overline {\mathbf {X} }}$라 하고, 공분산 행렬(covariance matrix)을 $\Sigma$라 한다. $\Sigma$는 $\mathbb {R} ^{2k\times 2k}$이다. $\Sigma$를 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)를 이용하여 $2k$개의 고유벡터(eigenvector)와 $2k$개의 고윳값을 구한다. 고윳값을 내림차순으로 정렬한 후 상위 $d$개에 해당하는 고유벡터를 모아 $\mathbf {P} \in \mathbb {R} ^{2k\times d}$의 행렬을 생성한다. 새로운 형태 $\mathbf {X} '$는

$\mathbf {X} '={\overline {\mathbf {X} }}+\mathbf {P} \mathbf {b}$,

$\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{d\times 1}$는 $\mathbf {P}$의 각 벡터에 곱해지는 값의 벡터이다. $\mathbf {b}$의 값이 변함에 따라 다양한 형태의 $\mathbf {X} '$가 생성될 수 있다. $\mathbf {X} '$가 학습 데이터 내의 형상만을 표현하기 위해서 $\mathbf {b}$의 값을 특정 범위 내에서 제한할 수 있다. $\mathbf {b}$의 각 요소는 그에 해당하는 고유벡터의 표준편차에 대해 $\pm 3\times$ 표준편차내에서 정할 수 있다. 고유벡터의 표준편차는 해당 고윳값의 제곱근으로 정의한다.