최대 원리

조화 함수가 경계 밖에서 극대점을 갖지 않는다는 정리

해석학에서, 최대 원리(最大原理, 영어: maximum principle)는 조화 함수가 극대점을 갖지 않는다는 정리다. 조화함수 말고도, 특정 타원형·포물형 편미분 방정식의 해에 대해서도 성립한다.

정의 편집

연결 열린집합   위의 조화 함수  가 극대점을 갖는다고 하자. 즉, 다음 성질을 만족시키는 점  근방  이 존재한다고 하자.

 

그렇다면  상수 함수이다.

호프 최대 원리 편집

연결 열린집합   위의   함수  가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

 

여기서  는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며,   의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약   에서 최댓값을 갖는다면,  상수 함수이다. 이를 호프 최대 원리(영어: Hopf maximum principle)라고 한다.

같이 보기 편집