집합론에서 칸토어의 정리(영어: Cantor's theorem)는 멱집합의 크기가 항상 원래의 집합의 크기보다 크다는 정리이다. 즉, 집합과 멱집합의 원소는 일대일 대응할 수 없다.
만약 이라면,
-
이므로 성립한다.
만약 이라면, 우선 단사 함수
-
-
가 존재하므로,
-
이다. 또한, 만약
-
라고 가정하면, 전단사 함수
-
가 존재한다. 이 경우, 부분 집합
-
를 구성할 수 있는데, 의 정의에 따라
-
이며, 이는 모순이다. 즉,
-
이며, 따라서
-
이다.
같이 보기
편집