수학 에서 칸토어 집합 (영어 : Cantor set )은 0과 1 사이의 실수 로 이루어진 집합 으로, [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 부터 시작하여 각 구간 을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다.
칸토어 집합을 제작하기 위해 7번 반복한 과정
칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.
처음 구간은 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 에서 시작한다.
[ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 구간을 3등분한 후, 가운데 개구간 ( 1 3 , 2 3 ) {\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)} 을 제외한다. 그러면 [ 0 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1 ] {\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]} 가 남는다.
두 구간 [ 0 , 1 3 ] {\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]} , [ 2 3 , 1 ] {\displaystyle \left[{\frac {2}{3}},1\right]} 의 가운데 구간을 제외한다. [ 0 , 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 7 9 ] ∪ [ 8 9 , 1 ] {\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}
계속해서 반복한다. 또는, 앞 단계의 구간을 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉,
C 0 = [ 0 , 1 ] C n = C n − 1 3 ∪ ( 2 3 + C n − 1 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=[0,1]\\C_{n}&={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)\end{aligned}}} 이 된다.
칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수 로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는 0.1 x x x ⋯ ( 3 ) {\displaystyle 0.1xxx\cdots _{(3)}} 가 빠지고, 두 번째 단계에는 0.01 x x x ⋯ ( 3 ) {\displaystyle 0.01xxx\cdots _{(3)}} 과 0.21 x x x ⋯ ( 3 ) {\displaystyle 0.21xxx\cdots _{(3)}} 가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 일대일 대응 시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
f ( ∑ k = 1 ∞ a k 3 − k ) = ∑ k = 1 ∞ ( a k / 2 ) 2 − k {\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}3^{-k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}/2)2^{-k}} 따라서 칸토어 집합은 비가산 집합 이며, 크기가 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 이다.
측도 및 위상수학적 성질
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칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 1 / 3 , 2 / 9 , 4 / 27 , … {\displaystyle 1/3,2/9,4/27,\dots } 이 된다. 이 길이를 모두 합하면
∑ n = 0 ∞ 2 n 3 n + 1 = 1 3 ( 1 1 − 2 3 ) = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1} 이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도 가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합 이며, 완전 집합 이다.
칸토어 집합은 가산 무한 개의 두 원소 이산 공간 의 곱공간 { 0 , 1 } ℵ 0 {\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}} 과 위상동형 이다. 특히, 칸토어 집합의 작은 귀납적 차원 은 0이다.
프랙털 성질
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칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있는 프랙털 이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원 은
ln 2 ln 3 = 0.6309 ⋯ {\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}=0.6309\cdots } 이다.
외부 링크
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