구면 코사인 법칙
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구면 삼각형의 세 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c} 단위 구면 위의 구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c}
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C} 여기서 cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } 코사인 , 사인 이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙 (第一球面cosine法則, 영어 : (first) spherical law of cosines )이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.
cos C = − cos A cos B + sin A sin B cos c {\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c} 이를 제2 구면 코사인 법칙 (第二球面cosine法則, 영어 : second spherical law of cosines )이라고 한다.
이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.
cos C = cos c − cos a cos b sin a sin b {\displaystyle \cos C={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}} cos c = cos C + cos A cos B sin A sin B {\displaystyle \cos c={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}} 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (법벡터 사용)
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다음과 같은 벡터들을 정의하자.
u = O A → − ( O C → ⋅ O A → ) O C → | O A → − ( O C → ⋅ O A → ) O C → | , v = O B → − ( O C → ⋅ O B → ) O C → | O B → − ( O C → ⋅ O B → ) O C → | {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}}{|{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}|}},\;\mathbf {v} ={\frac {{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}}{|{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}|}}} 즉, u , v {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} } C {\displaystyle C} A , B {\displaystyle A,B} 접벡터 이다. 그렇다면, u , v {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} } C {\displaystyle C} { O C → , u } , { O C → , v } {\displaystyle \{{\overrightarrow {OC}},\mathbf {u} \},\{{\overrightarrow {OC}},\mathbf {v} \}} O A C , O A B {\displaystyle OAC,OAB} 정규 직교 기저 를 이루므로, O A → , O B → {\displaystyle {\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}}
O A → = cos a ⋅ O C → + sin a ⋅ u {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}=\cos a\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin a\cdot \mathbf {u} } O B → = cos b ⋅ O C → + sin b ⋅ v {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}=\cos b\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin b\cdot \mathbf {v} } 따라서, 다음이 성립한다.
cos c = O A → ⋅ O B → = ( cos a ⋅ O C → + sin a ⋅ u ) ⋅ ( cos b ⋅ O C → + sin b ⋅ v ) = cos a cos b + sin a sin b cos C {\displaystyle {\begin{aligned}\cos c&={\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}\\&=(\cos a\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin a\cdot \mathbf {u} )\cdot (\cos b\cdot {\overrightarrow {OC}}+\sin b\cdot \mathbf {v} )\\&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\end{aligned}}} 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용)
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단위 구면의 중심을 O {\displaystyle O}
a = O A → , b = O B → , c = O C → {\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}},\;\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}},\;\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}} 그렇다면, a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } c {\displaystyle c} a , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {c} } b {\displaystyle b} b , c {\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {c} } a {\displaystyle a} 벡터곱 a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } a × c {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {c} } b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } sin c {\displaystyle \sin c} sin b {\displaystyle \sin b} sin a {\displaystyle \sin a} a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } a × c {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {c} } A {\displaystyle A} b × a {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} } b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } B {\displaystyle B} c × a {\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} } c × b {\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {b} } C {\displaystyle C} 비네-코시 항등식 에 따라 다음이 성립함에 주의하자.
( c × b ) ⋅ ( c × a ) = ( c ⋅ c ) ( a ⋅ b ) − ( c ⋅ b ) ( c ⋅ a ) {\displaystyle (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )} 여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.
sin a sin b cos C = cos c − cos a cos b {\displaystyle \sin a\sin b\cos C=\cos c-\cos a\cos b} 이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.
제2 구면 코사인 법칙의 증명
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구면 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 극삼각형 을 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'}
a ′ = π − A , b ′ = π − B , c ′ = π − C {\displaystyle a'=\pi -A,\;b'=\pi -B,\;c'=\pi -C} A ′ = π − a , B ′ = π − b , C ′ = π − c {\displaystyle A'=\pi -a,\;B'=\pi -b,\;C'=\pi -c} 따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} A B C {\displaystyle ABC}
쌍곡 코사인 법칙
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가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c}
cosh c = cosh a cosh b − sinh a sinh b cos C {\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C} 여기서 cosh , sinh {\displaystyle \cosh ,\sinh } 쌍곡 코사인 , 쌍곡 사인 이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙 ((第一)雙曲cosine法則, 영어 : (first) hyperbolic law of cosines )이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
cos C = − cos A cos B + sin A sin B cosh c {\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c} 이를 제2 쌍곡 코사인 법칙 (第二雙曲cosine法則, 영어 : second hyperbolic law of cosines )이라고 한다.
이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[6] :72
cos C = cosh a cosh b − cosh c sinh a sinh b {\displaystyle \cos C={\frac {\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}}} cosh c = cos A cos B + cos C sin A sin B {\displaystyle \cosh c={\frac {\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}}} 특히, C {\displaystyle C} 쌍곡 피타고라스 정리 가 된다.[6] :72
cosh c = cosh a cosh b {\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b} 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명
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복소 평면 C {\displaystyle \mathbb {C} } 열린 단위 원판 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 푸앵카레 원판 모형 을 취하자. 쌍곡 삼각형 z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c} D {\displaystyle D} 등거리 변환 을 가하여 z 3 , z 2 , z 1 {\displaystyle z_{3},z_{2},z_{1}} r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}} 허수부 Im z > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z>0} z {\displaystyle z} z , r , 0 {\displaystyle z,r,0} z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} z , r , 0 {\displaystyle z,r,0} 쌍곡 거리 의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
a = ln 1 + r 1 − r {\displaystyle a=\ln {\frac {1+r}{1-r}}} b = ln 1 + | z | 1 − | z | {\displaystyle b=\ln {\frac {1+|z|}{1-|z|}}} c = ln | 1 − r z | + | z − r | | 1 − r z | − | z − r | {\displaystyle c=\ln {\frac {|1-rz|+|z-r|}{|1-rz|-|z-r|}}} 여기서 ln {\displaystyle \ln } 자연 로그 이며, | − | {\displaystyle |-|} 절댓값 이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
tanh a 2 = r {\displaystyle \tanh {\frac {a}{2}}=r} tanh b 2 = | z | {\displaystyle \tanh {\frac {b}{2}}=|z|} tanh c 2 = | z − r | | 1 − r z | {\displaystyle \tanh {\frac {c}{2}}={\frac {|z-r|}{|1-rz|}}} 여기서 tanh {\displaystyle \tanh } 쌍곡 탄젠트 이다. 쌍곡선 함수 의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
cosh c = 2 sinh 2 c 2 + 1 = 2 tanh 2 c 2 1 − tanh 2 c 2 + 1 = 2 | z − r | 2 | 1 − r z | 2 − | z − r | 2 + 1 = 2 r 2 + | z | 2 − 2 r z cos C ( 1 − r 2 ) ( 1 − | z | 2 ) + 1 = ( 1 + r 2 ) ( 1 + | z | 2 ) − 4 r z cos C ( 1 − r 2 ) ( 1 − | z | 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh c&=2\sinh ^{2}{\frac {c}{2}}+1\\&=2{\frac {\tanh ^{2}{\frac {c}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {c}{2}}}}+1\\&=2{\frac {|z-r|^{2}}{|1-rz|^{2}-|z-r|^{2}}}+1\\&=2{\frac {r^{2}+|z|^{2}-2rz\cos C}{(1-r^{2})(1-|z|^{2})}}+1\\&={\frac {(1+r^{2})(1+|z|^{2})-4rz\cos C}{(1-r^{2})(1-|z|^{2})}}\end{aligned}}} 넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 z , r , 0 {\displaystyle z,r,0} [6] :72-74
cosh a = 1 + tanh 2 a 2 1 − tanh 2 a 2 = 1 + r 2 1 − r 2 {\displaystyle \cosh a={\frac {1+\tanh ^{2}{\frac {a}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {a}{2}}}}={\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}} sinh a = 2 tanh a 2 1 − tanh 2 a 2 = 2 r 1 − r 2 {\displaystyle \sinh a={\frac {2\tanh {\frac {a}{2}}}{1-\tanh ^{2}{\frac {a}{2}}}}={\frac {2r}{1-r^{2}}}} cosh b = 1 + | z | 1 − | z | {\displaystyle \cosh b={\frac {1+|z|}{1-|z|}}} sinh b = 2 | z | 1 − | z | 2 {\displaystyle \sinh b={\frac {2|z|}{1-|z|^{2}}}} 제2 쌍곡 코사인 법칙의 증명
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쌍곡 사인 법칙 에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.
sin A sinh a = sin B sinh b = sin C sinh c = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh a sinh b sinh c {\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh b\sinh c}}} 이에 따라 각 A , B , C {\displaystyle A,B,C}
sin A = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh b sinh c {\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh b\sinh c}}} sin B = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh a sinh c {\displaystyle \sin B={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh c}}} sin C = 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c sinh a sinh b {\displaystyle \sin C={\frac {\sqrt {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}{\sinh a\sinh b}}} 또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 A , B , C {\displaystyle A,B,C}
cos A = cosh b cosh c − cosh a sinh b sinh c {\displaystyle \cos A={\frac {\cosh b\cosh c-\cosh a}{\sinh b\sinh c}}} cos B = cosh a cosh c − cosh b sinh a sinh c {\displaystyle \cos B={\frac {\cosh a\cosh c-\cosh b}{\sinh a\sinh c}}} cos C = cosh a cosh b − cosh c sinh a sinh b {\displaystyle \cos C={\frac {\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}}} 따라서, 다음이 성립한다.
cos A cos B + cos C sin A sin B = ( cosh b − cosh c − cosh a ) ( cosh a cosh c − cosh b ) + sinh 2 c ( cosh a cosh b − cosh c ) 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c = cosh a cosh b cosh 2 c − cosh 2 a cosh c − cosh 2 b cosh c + cosh a cosh b + cosh a cosh b sinh 2 c − cosh c sinh 2 c 1 − cosh 2 a − cosh 2 b − cosh 2 c + 2 cosh a cosh b cosh c = cosh c {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}}&={\frac {(\cosh b-\cosh c-\cosh a)(\cosh a\cosh c-\cosh b)+\sinh ^{2}c(\cosh a\cosh b-\cosh c)}{1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}\\&={\frac {\cosh a\cosh b\cosh ^{2}c-\cosh ^{2}a\cosh c-\cosh ^{2}b\cosh c+\cosh a\cosh b+\cosh a\cosh b\sinh ^{2}c-\cosh c\sinh ^{2}c}{1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}}\\&=\cosh c\end{aligned}}} 마지막 등호에는 항등식 cosh 2 c − sinh 2 c = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}c-\sinh ^{2}c=1} [6] :74-75
평면 코사인 법칙과의 관계
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평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 r {\displaystyle r}
cosh c r r = cosh a r r cosh b r r − sinh a r r sinh b r r cos C r {\displaystyle \cosh {\frac {c_{r}}{r}}=\cosh {\frac {a_{r}}{r}}\cosh {\frac {b_{r}}{r}}-\sinh {\frac {a_{r}}{r}}\sinh {\frac {b_{r}}{r}}\cos C_{r}} 이 경우, r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } a r , b r , c r {\displaystyle a_{r},b_{r},c_{r}} 2 a ∞ , 2 b ∞ , 2 c ∞ {\displaystyle 2a_{\infty },2b_{\infty },2c_{\infty }} A r , B r , C r {\displaystyle A_{r},B_{r},C_{r}} A ∞ , B ∞ , C ∞ {\displaystyle A_{\infty },B_{\infty },C_{\infty }} 테일러 정리 에 따라 다음이 성립한다.
cosh a r r = 1 + 1 2 ( a r r ) 2 + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle \cosh {\frac {a_{r}}{r}}=1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{r}}{r}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )} cosh b r r = 1 + 1 2 ( b r r ) 2 + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle \cosh {\frac {b_{r}}{r}}=1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b_{r}}{r}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )} cosh c r r = 1 + 1 2 ( c r r ) 2 + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle \cosh {\frac {c_{r}}{r}}=1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{r}}{r}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )} 이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.
c r 2 r 2 = a r 2 r 2 + b r 2 r 2 − 2 sinh a r r sinh b r r cos C r + o ( 1 r 2 ) ( r → ∞ ) {\displaystyle {\frac {c_{r}^{2}}{r^{2}}}={\frac {a_{r}^{2}}{r^{2}}}+{\frac {b_{r}^{2}}{r^{2}}}-2\sinh {\frac {a_{r}}{r}}\sinh {\frac {b_{r}}{r}}\cos C_{r}+o\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\qquad (r\to \infty )} 다음에 주의하여, 양변에 r 2 {\displaystyle r^{2}} r → ∞ {\displaystyle r\to \infty }
lim r → ∞ r sinh a r r = 2 a ∞ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r\sinh {\frac {a_{r}}{r}}=2a_{\infty }} lim r → ∞ r sinh b r r = 2 b ∞ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r\sinh {\frac {b_{r}}{r}}=2b_{\infty }} lim r → ∞ r sinh b r r = 2 c ∞ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r\sinh {\frac {b_{r}}{r}}=2c_{\infty }} 그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.[6] :113-114
c ∞ 2 = a ∞ 2 + b ∞ 2 − 2 a ∞ b ∞ cos C ∞ {\displaystyle c_{\infty }^{2}=a_{\infty }^{2}+b_{\infty }^{2}-2a_{\infty }b_{\infty }\cos C_{\infty }} 제2 쌍곡 코사인 법칙
cos C r = − cos A r cos B r + sin A r sin B r cosh c r r {\displaystyle \cos C_{r}=-\cos A_{r}\cos B_{r}+\sin A_{r}\sin B_{r}\cosh {\frac {c_{r}}{r}}} 에 극한 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty }
cos C ∞ = − cos A ∞ cos B ∞ + sin A ∞ sin B ∞ {\displaystyle \cos C_{\infty }=-\cos A_{\infty }\cos B_{\infty }+\sin A_{\infty }\sin B_{\infty }} 이는 A ∞ + B ∞ + C ∞ = π {\displaystyle A_{\infty }+B_{\infty }+C_{\infty }=\pi } [6] :114
