하세-민코프스키 정리

수론에서 하세-민코프스키 정리(영어: Hasse–Minkowski theorem)는 수체에 대한 이차 형식의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 국소-대역 원리(local–global principle)의 대표적인 예이다.

정의 편집

대수적 수체 $K$ 에 대한 두 이차 형식 $p_{1},p_{2}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 명제는 서로 동치이다.

$K$ 에 대하여 $p_{1}$ 과 $p_{2}$ 는 동치이다.
$K$ 의 모든 완비화(실수, 복소수, p진수)에 대하여 $p_{1},p_{2}$ 는 동치이다.

따라서, 일반적인 수체에 대한 이차 형식의 분류는 완비체 실수·복소수·p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차 형식들의 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같다.

실수 이차형식은 차원과 부호수(signature)에 따라 완전히 분류된다.
(비퇴화) 복소 이차형식은 차원에 따라 완전히 분류된다.
p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차형식은 차원과 하세 불변량(Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다.

또한, 대수적 수체를 넘어서 일반적인 대역체에 대하여서도 하세-민코프스키 정리가 성립한다. 이 경우 함수체들의 완비화(국소체)에 대하여 이차형식들을 비교해야 한다.

역사 편집

헤르만 민코프스키가 유리수체에 대한 경우를 증명하였고, 헬무트 하세가 이를 일반적인 대수적 수체에 대하여 확장하였다.

참고 문헌 편집

Kitaoka, Yoshiyuki (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
Serre, Jean-Pierre (1973). 《A course in arithmetic》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 7. Springer. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001.