거리 공간

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수학에서, 거리 공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

정의편집

집합   위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

 

이다.

  • (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의  에 대하여,  
  • (대칭성) 임의의  에 대하여,  
  • (삼각 부등식, 영어: triangle inequality) 임의의  에 대하여,  

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

  • (삼각 부등식)  

여기서  로 잡으면  가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을  로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

거리 공간  은 거리 함수가 주어진 집합이다.

거리 공간의 특별한 집합편집

거리 공간  에서, 점  를 중심으로 하는, 반지름이  열린 공  는 다음과 같다.

 

 를 중심으로 하는, 반지름이  닫힌 공  는 다음과 같다.

 

거리 공간  유계 집합  는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

  •  인 점  가 존재한다.

거리 위상편집

거리 공간  거리 위상(距離位相, 영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합  이다.

모든  에 대하여,   가 존재한다.

거리 위상은 거리 함수  연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합  시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

완비 거리 공간편집

모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

지름편집

거리 공간  지름(영어: diameter)  는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

 

마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다.

성질편집

거리 공간  의 임의의 부분 집합  에 대하여,  는 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질편집

모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리 공간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

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  • 실수  에서, 거리가 절댓값을 이용하여,  로 정의되었을 때,  는 완비 거리 공간이다.
  • 유리수의 집합  은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
  • 유클리드 공간에서,  에서, 거리를  로 정의하면,  는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
  •  에서  을 거리로 정의하면,  는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간  에 대하여, 거리 함수를

 

로 정의한다면,  는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간  에 대하여 거리 함수를

 

로 정의한다면,  는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(영어: post-office metric)라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체  에 대하여, 거리 함수를

 

로 정의한다면,  는 거리 공간이다.

임의의 집합   및 양의 실수  에 대하여,

 

초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.

임의의 연결 그래프  에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

참고 문헌편집

같이 보기편집

외부 링크편집