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결합 구조

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결합 구조의 예. 이는 6개의 점(A, B, C, D, E, P) 및 6개의 직선(l, m, n, o, p, q)을 갖는다.

기하학에서, 결합 구조(結合構造, 영어: incidence structure)는 두 집합 및 그 사이의 어떤 이항 관계로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

정의편집

결합 구조  는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 집합  . 그 원소를 (點, 영어: point)이라고 한다.
  • 집합  . 그 원소를 직선(直線, 영어: line)이라고 한다.
  • 부분 집합  . 만약  라면 이를   또는  로 표기하고,   결합한다(結合-, 영어: incident)고 한다. (이 이항 관계  또는   등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조  에서, 부분 집합

 
 

이 주어졌을 때,   부분 결합 구조(部分結合構造, 영어: incidence substructure)라고 한다.

균등 결합 구조편집

결합 구조  가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 균등 결합 구조(均等結合構造, 영어: uniform incidence structure)라고 한다.

  • 임의의 두 점  에 대하여,  이다.

결합 구조  가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 정칙 결합 구조(正則結合構造, 영어: regular incidence structure)라고 한다.

  • 임의의 두 직선  에 대하여,  이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

선형 공간편집

결합 구조  가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 준선형 공간(準線形空間, 영어: partial linear space)이라고 한다.

  • (A) 임의의 서로 다른 두 점  에 대하여,  인 직선  이 적어도 하나 이상 존재한다.
  • (B) 임의의 직선  에 대하여,  인 서로 다른 두 점  이 항상 존재한다.

다음 조건을 만족시키는 준선형 공간  선형 공간(線形空間, 영어: linear space)이라고 한다.

  • (A′) 임의의 서로 다른 두 점  에 대하여,  인 직선  이 유일하게 존재한다.

연산편집

쌍대 결합 구조편집

결합 구조  가 주어졌을 때,  , 즉

  •  의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
  •  의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
  •  에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는

결합 구조를 구성할 수 있다. 이를  쌍대 결합 구조(雙對結合構造, 영어: dual incidence structure)이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 자기 쌍대 결합 구조(自己雙對結合構造, 영어: self-dual incidence structure)라고 한다.

만약  사영 평면이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 사영 평면이다.

결합 행렬편집

결합 구조  가 주어졌으며,   이 둘 다 유한 집합이라고 하자.    위에 각각 임의의 전순서를 부여하여

 
 

로 적자. 그렇다면, 다음과 같은   행렬을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조  결합 행렬(結合行列, 영어: incidence matrix)이라고 한다.

 

레비 그래프편집

결합 구조  가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 그래프 색칠을 갖는 이분 그래프를 정의할 수 있다.

  • 검은 꼭짓점은 점( 의 각 원소)에 대응한다.
  • 흰 꼭짓점은 직선( 의 각 원소)에 대응한다.
  • 검은 꼭짓점   및 흰 꼭짓점   사이에 변이 있을 필요 충분 조건 인지 여부이다.

이를 결합 구조  레비 그래프(영어: Levi graph)라고 한다.

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자명한 결합 구조편집

임의의 집합  에 대하여,  으로 정의하면, 유일한 결합 구조  를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합  에 대하여,  으로 정의하면, 유일한 결합 구조  를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

그래프편집

임의의 그래프  가 주어졌을 때,

  • 점을  의 꼭짓점으로 삼으며,
  • 직선을  의 변으로 삼으며,
  • 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는

결합 구조  를 정의할 수 있다.

다각형편집

 
삼각형 결합 구조

2 이상의 정수  가 주어졌다고 하자. 집합

 
 

위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.

 

이 결합 구조   각형( 角形, 영어:  -gon)이라고 한다.

특히, 만약  일 경우 이는 길이  순환 그래프에 대응하는 결합 구조이다.

블록 설계편집

임의의 블록 설계  가 주어졌을 때,

  • 점을  의 원소로 삼으며,
  • 직선을 블록(즉,  의 원소)으로 삼으며,
  • 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는

결합 구조  를 정의할 수 있다.

사영 평면편집

 
파노 평면  사영 평면의 한 예이다.

사영 평면은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

리만 다양체편집

임의의 리만 다양체  가 주어졌을 때,

  • 점을  의 원소로 삼으며,
  • 직선을  의 (확장 불가능) 측지선으로 삼으며,
  • 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는

결합 구조를 정의할 수 있다.

일반화 다각형편집

일반화 다각형사영 평면의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

역사편집

“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비(독일어: Friedrich Wilhelm Daniel Levi, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집