경로적분법

복소해석학에서 경로 적분법(Methods of contour integration)은 복소평면위의 어떤 경로를 따라 적분하는 것을 말한다. 경로적분(Contour integration)은 복소해석학의 유수 정리(Residue theorem)와 밀접하게 관련이 있다. 경로 적분법은 다음을 포함한다.

  • 복소평면 위에서 곡선을 따라 복소함수를 직접 적분
  • 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)의 응용
  • 유수 정리(Residue theorem)의 응용

이러한 방법들과 극한 계산을 이용하여 합이나 적분의 값을 찾아낼 수 있다.

직접 계산편집

다변수 미적분학에서 선적분을 계산하듯이 직접 적분을 계산한다. 이 계산은 다음의 과정을 거친다.

  • 경로를 매개변수화 한다.
  • 적분을 매개변수로 치환한다.
  • 직접 계산한다.

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적분 경로가 단위원일 경우  의 경로적분값을 직접 계산한다. 즉, 다음 적분을 계산하면 된다.

 

이 적분을 하기 위해 단위원을 매개변수화 한다. 그러므로  일 때,  가 되므로  가 되므로 다음과 같이 계산된다.

 

적분 정리들의 응용편집

코시 적분 정리(Cauchy-Goursat theorem)나 유수 정리(Residue theorem) 등 몇 가지 알려진 정리들을 활용한다.

예 1편집

다음 적분을 하려고 한다.

 

이 적분을 하기 위해 다음과 같은 복소함수를 먼저 생각한다.

 

이 함수는   에서 특이점을 갖는다. 우리가 선택한 경로는 우측의 그림과 같고, 계산을 해야할 부분은 실수축을 따라가는 적분부분이다. 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)과 유수 정리를 이용하는 두 가지 방법으로 계산이 가능하다. 이 경로를  라고 하면 다음과 같이 계산된다.

코시 적분 공식을 이용한 계산편집

 

이므로

 

라는 사실에 주목하자. (여기서 Arc는 반원의 가장자리를 따라가는 경로)

 

와 같이 분모가 분해되고 적분경로 내부에는  에서 특이점이 발생하므로

 

라고 쓸 수 있다. 코시 적분 공식에 직접 대입하여 다음과 같이 계산된다.

 

반원의 가장자리를 따라가는 적분도 마저 계산해야 한다. 이 적분의 극한이 영에 수렴함을 보인다. 즉,

 

임을 보인다. 여기서   의 상계(upper bound)이고,  은 반원 가장자리의 길이이다.

 

이므로

 

유수 정리를 이용한 계산편집

 에서  로랑 급수를 생각한다.

 

유수(residue)의 값이  라는 것을 알 수 있다. 그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

 

마지막으로 반원의 가장자리를 따라가는 적분은 위와 같다.

예 2편집

다음 적분을 시도하려고 한다.

 

이 적분은 초등 미적분학으로 계산하기 어렵다. 위 예1과 마찬가지로 동일한 경로를 선택하여 적분한다. 그러므로 다음과 같은 복소함수의 적분을 생각해야 한다.

 

 전해석 함수이므로 이 함수는 오직 분모가 영이 되는 지점에서만 특이점을 가진다. 유수를 계산하면 다음과 같다.

 
 

그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 전체 경로의 적분값은 다음과 같이 계산된다.

 

그런데 이 경로는 두 개의 적분으로 분해된다.

 

따라서 다음과 같이 된다.

 

이로써  가 영보다 클 경우와 작은 경우를 나누어야 한다. 만약 영보다 클 경우,

 

이므로 다음과 같이 적분이 계산된다.

 

비슷하게  가 영보다 작을 경우 적분 경로를 아래쪽 반원을 취하여

 

이 됨을 알 수 있다. 그리하여 다음을 계산할 수 있다.

 

(만약  일 경우는 실해석학으로 적분값이  임을 즉시 알 수 있다.)