계승 (수학)
수학에서, 자연수의 계승(階乘, 문화어: 차례곱) 또는 팩토리얼(영어: factorial)은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 n에 상대하여 이르는 말이다. 기호는 느낌표(!)를 쓰며 팩토리얼이라고 읽는다.
n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 39916800 |
12 | 479001600 |
13 | 6227020800 |
14 | 87178291200 |
15 | 1307674368000 |
16 | 20922789888000 |
17 | 355687428096000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121645100408832000 |
20 | 2432902008176640000 |
25 | 1.551121004×1025 |
50 | 3.041409320×1064 |
70 | 1.197857167×10100 |
100 | 9.332621544×10157 |
450 | 1.733368733×101000 |
1000 | 4.023872601×102567 |
3249 | 6.412337688×1010000 |
10000 | 2.846259681×1035659 |
25206 | 1.205703438×10100000 |
100000 | 2.824229408×10456573 |
205023 | 2.503898932×101000004 |
1000000 | 8.263931688×105565708 |
10100 |
정의
편집음이 아닌 정수 n의 계승 n!은 다음과 같이 정의된다.
특히, 0의 계승은 1이다.
처음 몇 계승은 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... (OEIS의 수열 A000142)
- 쉽게 정리하면 5! = 1×2×3×4×5이다.
복소수의 계승
편집감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 의 정의역은 이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
특히, 반정수의 계승은 다음과 같다.
기수의 계승
편집계승이 대칭군의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 의 계승 는 다음과 같다.[1]:64, 习题8
다중 계승
편집계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승(多重階乘, 영어: multifactorial)의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 과 정수 가 주어졌을 때, 의 중 계승은 다음과 같다. (이는 번의 계승과 다른 개념이다.)
특히, 일 경우 다음과 같다.
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승(二重階乘, 영어: double factorial)은 다음과 같다. 임의의 에 대하여,
특히, 이다.
처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... (OEIS의 수열 A006882)
- 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... (OEIS의 수열 A007661)
- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... (OEIS의 수열 A007662)
지수 계승
편집계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, 삼각수의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 의 삼각수 은 다음과 같다.
계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, 지수 계승(指數階乘, 영어: exponential factorial)의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 의 지수 계승 은 다음과 같다.
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
성질
편집항등식
편집계승· 중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다.
점근 공식
편집또한, 임의의 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
특히, 큰 에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사는 다음과 같다.
수론적 성질
편집윌슨 정리
편집2 이상의 정수 에 대해 다음이 성립한다
- 가 소수이면 을 로 나눈 나머지가 이다.
- 를 로 나눈 나머지가 이면 가 소수이다.
르장드르 공식
편집임의의 및 소수 에 대하여, 은 과 동치이다. 또한, 르장드르 공식(Legendre公式, 영어: Legendre's formula)에 따르면, 의 소인수 분해에서 의 지수 는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)
여기서
- 는 바닥 함수이다.
- 은 의 p진법 전개의 자릿수의 합이다.
응용
편집계승 소수
편집관련 개념
편집소수 계승
편집음이 아닌 정수 의 소수 계승은 이하의 모든 소수의 곱이다.
상승 계승과 하강 계승
편집역사
편집계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.[2]
프랑스어: factorielle 팍토리엘[*]이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(프랑스어: Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(프랑스어: Éléments d’arithmétique universelle)[3]에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 프랑스어: faculté 파퀼테[*])라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.
같이 보기
편집각주
편집참고 문헌
편집- Hadamard, M. J. (1968). 〈Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière〉 (PDF). 《Œuvres de Jacques Hadamard》 (프랑스어). Paris: Centre National de la Recherche Scientifiques.
외부 링크
편집- 이철희. “팩토리얼(factorial)”. 《수학노트》.
- “Factorial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Double factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Multifactorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Factorial”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Definition:Factorial”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Category:Factorials”. 《ProofWiki》 (영어).