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수학에서, 수열계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

1, 4, 9, 16, ... , n2, ...

의 계차수열은

3, 5, 7, ... , 2n + 1, ...

과 같다. 수열 {an}의 계차수열의 일반항an+1 - an이다.

정의편집

수열 {an}계차수열은 다음과 같은 수열 an}이다.[1]

 

또, an}의 계차수열

 

이계 차수열이라고 하고, 2an}으로 표기한다.

임의의 자연수 k에 대하여 k계차수열(kth difference) kan}은 다음과 같이 정의된다.

 

또는 (점화식을 써서)[1]

 
 

위에서 알 수 있듯이, an의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은 Δan이다.

계차수열의 일반항편집

수열  의 계차수열을  이라고 하자. 다음과 같은 수열을 예시로 들자.

 

 

여기에서,

 

 

 

이와 같은 방식으로,

  일 때,  임을 추측할 수 있다.

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  • 수열 1, 3, 5, 7, ...2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
  • 수열 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...의 계차수열은 1/1 × 2, 1/2 × 3, 1/3 × 4, ...이다.
  • 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 이계 차수열은 810, 8100, ...이다.
  • 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
  • 등차수열 an = pn + q의 계차수열은 상수열 Δan = p이다. 특별히, 상수열 an = c의 계차수열은 영수열 Δan = 0이다.
  • 조화수열 an = 1/pn + q의 계차수열은 Δan = p/(pn + q)(pn + p + q)이다.
  • 주어진 수열 an의 합 Sn = a1 + … + an의 계차수열은 a2, a3, a4, ...이다.
  • 3차 다항식n3의 1, 2, 3계 차수열은 각각 3n2 + 3n + 1, 6n + 6, 6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

성질편집

  • 임의의 수열 {an}은 초항과 일계 차수열 an}에 의해 유일하게 결정된다.
     
다만, 홀수열 1, 3, ...과 짝수열 2, 4, ...처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
  • 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.[1]
     
여기서  (n - 1)개의 대상 중에서 k 개를 고른 조합수이다.
  • k계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.
     
  • 수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {an}단조증가필요충분조건Δan ≥ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다. 수열 {an}단조감소할 필요충분조건은, Δan ≤ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다.
  • 아벨 변환
  • 슈톨츠-체사로 정리

고계 등차수열편집

m계 등차수열(m ≥ 0)은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

  • 0이 아닌 상수의 수열은 0계 등차수열이다.
  • 계차수열이 (k - 1)계 등차수열인 수열은 k계 등차수열이다.

위의 예시 문단에서, 수열 {6, 6, ...}은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인 {6n - 6}은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 {3n2 + 3n + 1}은 2계 등차수열, {n3}은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 {an}m계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 n에 대한 m차 다항식이라는 것이다.[1]

같이 보기편집

각주편집

  1. 吴强 (2008). 张飞羽, 편집. “阶差数列的几个性质及其应用” [계차수열의 몇가지 성질과 그 응용]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 6–9.