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구면 삼각형

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구면 삼각형

수학에서, 구면 삼각형(球面三角形, 영어: spherical triangle)은 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학평면 삼각형구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법(球面三角法, 영어: spherical trigonometry)이라고 한다.

정의편집

원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원)  볼록 구면 다각형(-球面多角形, 영어: convex spherical polygon)은 다음을 만족시키는 부분 집합  이다.[1]

  •   반구  의 유한 교집합  으로 나타낼 수 있다.
  •  . 즉,  내부점을 가진다.
  •  . 즉,  대척점쌍을 포함하지 않는다.

각 반구  에 대응하는  반공간  들의 교집합  볼록추를 이루는데, 이  의 모서리와  의 교점을  꼭짓점(-點, 영어: vertex)이라고 하며,  의 면과  의 교선을  (邊, 영어: edge)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우  (볼록) 구면 삼각형((-)球面三角形, 영어: (convex) spherical triangle)이라고 한다.

성질편집

  위의 세 점  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

  •  는 구면 삼각형을 이룬다.
  •   -선형 독립이다.

변의 길이와 각의 크기편집

구면 삼각형  의 변의 길이  는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.

 
 
 

구면 삼각형  의 각의 크기  는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다.

 
 
 

극삼각형편집

구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 (極, 영어: pole)은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.

구면 삼각형  가 주어졌다고 하자.   의 대원의 두 극 가운데  와 같은 쪽에 있는 하나이며,   의 대원의 두 극 가운데  와 같은 쪽에 놓인 하나이며,   의 대원의 두 극 가운데  와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면  는 구면 삼각형을 이루며, 이를  극삼각형(極三角形, 영어: polar triangle)이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.

 
 
 
 

극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형  의 극삼각형이  라고 하자. 그렇다면,  가 각각 변  의 극이므로,  는 모두 4분원호다. 따라서,  는 변  의 극이다. 또한,   의 같은 쪽에 있으므로,  는 4분원호보다 작으며, 따라서   의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

구면 삼각형  의 극삼각형  의 변   및 각  은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다.

 

이는 다음과 같이 증명할 수 있다.   의 교점을  ,   의 교점을  라고 하자. 그렇다면, 각  는 대원호  와 같다. 또한,  는 모두 4분원호이므로,  는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

사인 법칙과 코사인 법칙편집

구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다.

 

구면 삼각형  에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다.

 
 
 

구면 삼각형  에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.

 
 
 

다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.

 
 
 
 
 
 

기타 항등식편집

반각과 반변편집

구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 
 
 
 
 

여기서  이다.

이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 

네이피어 동류식편집

다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식(-同類式, 영어: Napier's analogies)이라고 한다.

 
 
 
 

들랑브르 동류식편집

다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식(-同類式, 영어: Delambre's analogies) 또는 가우스 정리(-定理, 영어: Gauss's theorems)이라고 한다.

 
 
 
 

넓이와 구과량편집

구면 다각형  구과량(球過量, 영어: spherical excess) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 다음과 같다.

 

특히, 구면 삼각형  의 구과량은 다음과 같다.

 

구면 다각형  의 넓이는 그 구과량과 같다.

 

특히, 구면 삼각형  의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다.

 

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다.  변이 놓인 대원호를 경계로 하며  를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형  , 둘째는 각  만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형  를 제외한 부분, 셋째는 각  만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형  를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각  만큼 벌어진 구면 이각형에서  대척점  이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가  이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형  의 넓이가  와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다.

 

다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다.

 

여기서  이다.

응용편집

구면 삼각법은 천문학 , 측지학항법 에서 계산에 매우 중요하다.

역사편집

그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19 세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다.[2] 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Berger, Marcel (1987). 《Geometry》. Universitext (영어) 2. 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93816-3. ISBN 978-3-540-17015-0. ISSN 0172-5939. 
  2. Todhunter, I. (1886). 《Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools》 (영어) 5판. London: Macmillan and Co. 

외부 링크편집