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범주론에서, 군 대상(群對象, 영어: group object)은 을 갖는 범주에서 정의되는, 의 역할을 하는 대상이다. 모노이드 대상의 특수한 경우이다.

정의편집

 끝 대상 및 유한 을 갖는 범주라고 하자. (임의의 모노이드 범주에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다. 이는 일반적 모노이드 범주에서 대각 사상  이나 쌍대항등원  이 주어지지 않기 때문이다.)  군 대상  는 다음 데이터로 이루어진다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • (역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상  이 존재한다. 또한,  대각 사상이라고 하자. 그렇다면  이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.
 

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상  는 임의의 대상  에 대하여  을 이뤄,    함자를 이루는 대상이다. 여기서  군 준동형범주이다.

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대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

범주 군 대상 비고
집합함수의 범주
위상 공간연속 함수의 범주 위상군
매끄러운 다양체매끄러운 함수의 범주 리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주 대수군
스킴과 스킴 사상의 범주 군 스킴(group scheme)
군 준동형의 범주 아벨 군 역원 사상  이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주 아벨 군
아벨 군군 준동형의 범주 아벨 군
작은 범주의 범주   교차 가군(영어: crossed module)[1]:285–287 군 준동형의 범주   속의 내적 범주와 같다.[1]:269

참고 문헌편집

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. 

외부 링크편집

같이 보기편집