해석학 에서 균등수렴 (均等收斂, uniformly convergent )하는 함수열은 주어진 함수로 일제히 '동일한 속도'로 수렴하는 함수열이다. 균등수렴은 점마다 수렴 보다 더 강한 개념이며, 점마다 수렴이 보존하지 않는 여러 성질(예: 연속성 )을 보존한다.
균등수렴은 고른수렴 , 평등수렴 (平等收斂), 일양수렴 (一樣收斂)이라고도 불린다.
S
{\displaystyle S}
집합 ,
M
{\displaystyle M}
거리공간 ,
f
n
:
S
→
M
{\displaystyle f_{n}\colon S\to M}
f
:
S
→
M
{\displaystyle f\colon S\to M}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
{\displaystyle N}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
d
(
f
n
(
x
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon }
f
n
{\displaystyle f_{n}}
균등극한 )
f
{\displaystyle f}
균등수렴 한다고 하고,
f
n
⇉
f
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
lim
n
→
∞
sup
x
∈
S
d
(
f
n
(
x
)
,
f
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup _{x\in S}\,d(f_{n}(x),f(x))=0}
과 동치이다. 즉, 균등수렴은 함수열의 균등 노름 하의 수렴이다.
기본적으로,
만약
f
n
⇉
f
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
f
n
|
S
′
⇉
f
|
S
′
{\displaystyle f_{n}|_{S'}\rightrightarrows f|_{S'}}
|
S
′
{\displaystyle |_{S'}}
S
{\displaystyle S}
S
′
{\displaystyle S'}
제한 )
만약
f
n
⇉
f
,
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,}
g
n
⇉
g
{\displaystyle g_{n}\rightrightarrows g}
f
n
∪
g
n
⇉
f
∪
g
{\displaystyle f_{n}\cup g_{n}\rightrightarrows f\cup g}
균등수렴은 실함수열에 대해서도 정의되며, 이때 위에서 사용된
d
{\displaystyle d}
I
{\displaystyle I}
∑
n
=
1
∞
f
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
절대균등수렴 은
∑
n
=
1
∞
|
f
n
|
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}
이들 논의는 복소수, 나아가 노름 벡터 공간 에 대해서도 잘 적용된다.
실함수열에 대해 기본적으로, 만약
f
n
⇉
f
,
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,}
g
n
⇉
g
{\displaystyle g_{n}\rightrightarrows g}
c
f
n
⇉
c
f
{\displaystyle cf_{n}\rightrightarrows cf}
c
{\displaystyle c}
f
n
+
g
n
⇉
f
+
g
{\displaystyle f_{n}+g_{n}\rightrightarrows f+g}
f
n
,
g
n
{\displaystyle f_{n},g_{n}}
균등유계 이기도 하면,
f
n
g
n
⇉
f
g
{\displaystyle f_{n}g_{n}\rightrightarrows fg}
다음은 실함수항급수의 균등수렴에 대한 판정법들이다. 대다수는 실수항급수의 수렴판정법의 전제 조건이 정의역의 모든 곳에서 '균등적'으로 성립하는 것을 전제 조건으로 한다.
(코시 수렴 판정법 )실함수항급수가 수렴할 필요충분조건은 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
{\displaystyle N}
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
|
∑
k
=
n
m
f
k
(
x
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=n}^{m}f_{k}(x)\right|<\epsilon }
(바이어슈트라스 M-판정법 )항상
|
f
n
(
x
)
|
≤
M
n
{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}
∑
n
=
1
∞
M
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}
∑
n
=
1
∞
f
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
(디리클레 판정법 )만약
∑
n
=
1
∞
g
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }g_{n}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
균등유계 이고,
h
n
{\displaystyle h_{n}}
n
{\displaystyle n}
∑
n
=
1
∞
g
n
h
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }g_{n}h_{n}}
(아벨 판정법 )만약
∑
n
=
1
∞
g
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }g_{n}}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
n
{\displaystyle n}
∑
n
=
1
∞
g
n
h
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }g_{n}h_{n}}
연속성 보존
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점마다 수렴에서의 연속성 보존 반례. 연속함수열 sinn x
S
{\displaystyle S}
위상공간 (예: 실구간)이라고 하자. 그러면 함수의 연속성을 논의 가능하며, 균등수렴정리 에 의하면, 연속함수열의 균등극한은 여전히 연속이다.
균등극한정리의 증명은 ε-δ 논법과 삼각부등식 의 실례인
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
≤
|
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
+
|
f
n
(
x
)
−
f
n
(
y
)
|
+
|
f
n
(
y
)
−
f
(
y
)
|
{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)-f(y)|}
로 이루어진다.
점마다 수렴 은 연속성을 보존하지 않는다.
더 나아가, 균등연속함수 의 균등극한은 여전히 균등연속 이다. 국소 콤팩트 공간 에서는 연속성이 국소균등연속성과 동치이므로, 두 결론은 같은 얘기이다.
적분가능성
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리만 적분 에 한하면, 적분가능 함수열의 균등수렴은 여전히 적분가능하고, 그 적분은 항별적분의 극한과 같다.
∫
I
f
=
lim
n
→
∞
∫
I
f
n
{\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}}
그러나 역은 성립하지 않는다.
실제로, 유계함수열의 균등수렴(여전히 유계)의 리만 상·하적분은 항별 상·하적분의 극한과 같다.
점마다 수렴은 리만 적분가능성을 보존하지 않는다.
르베그 적분 에 대해서는, 더 많이 약화된 전제 조건을 사용할 수 있다.
미분가능성
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미분가능성에 대해서는 적분가능성과는 다르게, 함수열의 미분가능성과 균등수렴 조건만을 요구하는 것은 아니다.
외부 링크
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이 부분의 본문은 균등수렴정리입니다.
