균등 수렴 위상

(균등 노름에서 넘어옴)

해석학에서 균등 수렴 위상(均等收斂位相, 영어: topology of uniform convergence)은 일반위상수학적인 극한균등 수렴과 일치하게 하는, 함수 공간 위의 위상이다. 이 경우, 공역위상 벡터 공간 또는 (보다 일반적으로) 균등 공간 구조가 필요하다. 만약 공역거리 공간이나 노름 공간과 같은 구조가 주어지면, 이 위상 및 균등 공간 구조와 호환되는 균등 거리 함수(영어: uniform metric) 및 균등 노름(영어: uniform norm)을 정의할 수 있다.

정의

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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  • 균등 공간  

그렇다면, 함수 집합   위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

 

이를   위의 균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상균등 수렴 위상이라고 한다.[1]:TG X.2, Définition X.1.1

보다 일반적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  •  덮개  
  • 균등 공간  

그렇다면, 함수 집합   위에 다음 조건을 만족시키는 가장 엉성한 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

  • 임의의  에 대하여, 제약 사상  는 ( 에 균등 수렴 균등 구조를 부여할 때) 균등 연속 함수이다.

이를   위의  -균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상 -균등 수렴 위상이라고 한다.[1]:TG X.2, Définition X.1.2

만약  한원소 덮개라면  -균등 수렴 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 같다. 만약   유한 부분 집합들로 구성된 덮개라면,  -균등 수렴 균등 구조는 곱 균등 구조이다. 만약  위상 공간이며,  콤팩트 집합들로 구성된 덮개라면,  -균등 수렴 균등 구조는 모든 콤팩트 집합 위에서 균등 수렴을 수렴 조건으로 하는 균등 구조이다.

균등 거리 함수

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확장 거리 함수(영어: extended metric)는 거리 함수와 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수  이다. 확장 거리 함수  에 대하여  거리 함수를 이루며,   은 같은 위상을 정의한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면,   위에 다음과 같은 확장 거리 함수를 부여할 수 있다.

 

이를   위의 균등 수렴 확장 거리 함수(영어: extended metric of uniform convergence) 또는 단순히 균등 거리 함수(영어: uniform metric)이라고 한다. 균등 수렴 확장 거리 함수가 유도하는 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 일치한다.

균등 노름

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벡터 공간   위의 확장 노름(영어: extended norm)은 노름과 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수  이다. (이때  으로 놓는다.)

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 함수 집합   위에 다음과 같은 확장 노름을 부여할 수 있다.

 

만약 이를 유계 함수의 집합

 

으로 국한한다면, 이는 참된 노름을 정의한다. 이를 균등 노름(영어: uniform norm) 또는 상한 노름(영어: supremum norm)이라고 한다. 균등 노름이 유도하는 거리 함수는 (확장 노름에 대응하는 확장 거리 함수에 대한) 균등 수렴 확장 거리 함수와 일치한다.

성질

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만약  완비 균등 공간이라면,   위의 균등 수렴 균등 구조 역시 완비 균등 공간이다.

각주

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  1. Bourbaki, Nicolas (1974). 《Topologie générale. Chapitres 5 à 10》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. doi:10.1007/978-3-540-34486-5. 

외부 링크

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