균등 비압축성 오일러 방정식

유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, 영어: homogeneous incompressible Euler's equations)은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.

정의

리만 계량을 갖춘 경계다양체 $(M,g)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장

$p\colon \mathbb {R} \times M\to \mathbb {R}$

$p\colon (t,x)\mapsto p(t,x)$

과 시간 의존 벡터장

$u\colon \mathbb {R} \times M\to \mathrm {T} M$

$u\colon (t,x)\mapsto u(t,x)\in \mathrm {T} _{x}M$

에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.^{:Example 3:90, §3.2, (3.22)}

$\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla _{u}\right)u=-(\mathrm {d} p)^{\sharp }$

${\mathcal {L}}_{u}\operatorname {vol} =0$

$u\upharpoonright \partial M\in \Gamma (\mathrm {T} \partial _{M})$

여기서

• $(-)^{\sharp }\colon \Omega ^{1}(M)\to {\mathfrak {Vect}}(M)$은 음악 동형의 하나이며, 1차 미분 형식을 벡터장으로 대응시킨다. 즉, $(\mathrm {d} p)^{\sharp }$는 스칼라장 $p$의 기울기 벡터장이다. 이 연산을 정의하려면 리만 계량이 필요하다.
• $\operatorname {vol}$은 리만 계량 $g$로 정의된 부피 형식이다. (만약 $M$이 비가향 다양체라도 이는 국소적으로 정의되며, 방향은 중요하지 않다.)
• ${\mathcal {L}}_{u}$는 (국소적으로 정의된 미분 형식의) 리 미분이다.
• 방정식 $\partial L_{u}\operatorname {vol} =0$은 벡터장 $u$의 발산이 0임을 뜻한다.
• $\partial M$은 경계다양체 $M$의 경계이다.
• $\mathrm {T} \partial M$은 경계 $\partial M$의 접다발이다. $\Gamma (\mathrm {T} \partial M)$은 그 단면의 집합이며, 이는 $M$의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다.
• $u\upharpoonright \partial M\in \Gamma (\mathrm {T} \partial M)$은 경계다양체 $M$ 위에 정의된 벡터장 $u$가 $M$의 경계 $\partial M$에서 경계와 평행함을 뜻한다.

$p$는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 $p$의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 $p_{0}$에 대하여 $p(t,x)\mapsto p(t,x)+p_{0}$와 같이 치환하더라도 $v$의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 $v$가 주어지면), $p$는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.

물리학적 해석

이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.

기호	물리학적 해석	단위
$M$	유체가 존재하는 공간	[길이]
$\partial M$	유체가 존재하는 공간의 벽	[길이]
$\mathbb {R}$	시간	[시간]
$u(t,x)$	시각 $t\in \mathbb {R}$에서, 위치 $x\in M$에서의 유체의 속도	[길이] [시간]−1
$p(t,x)$	압력 ÷ 밀도	[길이]2 [시간]−2
${\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla _{v}$	물질 미분(영어: material derivative) $\mathrm {D}$. 공간의 절대 좌표 대신, 공간 속을 움직이는 주어진 유체 입자에 대한 미분	[시간]−1
$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla _{v}\right)=-(\mathrm {d} p)^{\sharp }$	유체의 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙. 즉, 단위 부피 속의 유체 입자의 가속도는 이에 가해진 힘 ÷ 질량에 비례함
${\mathcal {L}}_{u}\operatorname {vol} =0$	유체의 소용돌이도(와도, 渦度, 영어: vorticity)가 0임. 즉, 소용돌이가 존재하지 않음
$u\upharpoonright \partial M\in \Gamma (\mathrm {T} \partial M)$	유체가 벽에 힘을 가하지 않음

물리학에서는 보통 압력 $p(t,x)$를 중력 퍼텐셜 $\phi$와 질량당 일 $w$로 구분한다.

$p(t,x)=\phi (t,x)+w(t,x)$

즉,

$-(\mathrm {d} p)^{\sharp }=-(\mathrm {d} w)^{\sharp }+g$

이다. 여기서 $g=-(\mathrm {d} \phi )^{\sharp }$는 중력 퍼텐셜 $\phi$에 대응하는 중력장이다.

측지선 방정식으로의 형태

오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.^{:90, Remark Ⅱ.3.6}

구체적으로, $(M,g)$이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, $M$의 자기 미분 동형

$f\colon M\to M$

$f(\partial M)\to (\partial M)$

들의 공간

$\operatorname {Diff} (M)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,M)$

을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는 $M$ 위의 벡터장의 리 대수

${\mathfrak {Vect}}(M)$

이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,M)$ 위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.

$\operatorname {Diff} (M)$ 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군

$\operatorname {SDiff} (M)\subseteq \operatorname {Diff} (M)$

$\operatorname {SDiff} (M)=\{f\in \operatorname {Diff} (M)\colon f^{*}\left|\operatorname {vol} \right|=\left|\operatorname {vol} \right|\}$

이다. 여기서 $\left|\operatorname {vol} \right|={\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} ^{\dim M}x$은 리만 계량 $g$로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는

${\mathfrak {SVect}}(M)=\{u\in {\mathfrak {Vect}}(M)\colon {\mathcal {L}}_{u}\left|\operatorname {vol} \right|=\left|\operatorname {vol} \right|,\;u\upharpoonright \partial M\in {\mathfrak {Vect}}(\partial M)\}$

이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.

${\mathfrak {SVect}}(M)^{*}\cong \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)$

여기서 $\Omega ^{i}(M)$는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 $\Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)$의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.

이제, ${\mathfrak {SVect}}(M)$ 위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.

$\langle v|v\rangle ={\frac {1}{2}}\int _{M}g(v,v)\,\left|\operatorname {vol} \right|$

이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군 $\operatorname {SDiff} (M)$ 위의 리만 계량을 정의한다.

이 경우, 오일러 방정식은 $\operatorname {SDiff} (M)$ 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 $u$가 주어졌을 때,

$\phi (0,x)=x$

${\frac {\partial }{\partial t}}\phi (t,x)=u(t,x)$

를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 $x$였던 유체 입자의, 시각 $t$에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,

$\phi \colon \mathbb {R} \to \operatorname {Diff} (M)$

이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서

$u\in {\mathfrak {SVect}}(M)$

이므로

$\phi \colon \mathbb {R} \to \operatorname {SDiff} (M)$

이다. 첫째 오일러 방정식은

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x)=-(\mathrm {d} p|_{t,\phi (t,x)})^{\sharp }$

인데, 항상 부분 적분에 따라

$\int _{M}\langle \mathrm {d} p,v\rangle =0\qquad \forall v\in {\mathfrak {SVect}}(M)$

이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은

$\nabla _{u}u=0$

을 함의한다. 여기서 $\nabla _{u}$는 프레셰 다양체 $\operatorname {SDiff} (M)$ 위의, $u$ 방향의 공변 미분이다.

해밀턴 방정식으로의 형태

오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.^{:91–95, §Ⅱ.3.3}

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. ${\mathfrak {SVect}}(M)$의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)

${\mathfrak {SVect}}(M)^{*}\cong \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)$

이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.^:(1.95)

$\{\alpha _{i}(x),\alpha _{j}(y)\}=(\partial _{j}\alpha _{i}-\partial _{i}\alpha _{j})\delta (x-y)$

그렇다면, 여기에는 ${\mathfrak {SVect}}(M)$ 위의 양의 정부호 쌍선형 형식

$\langle u,u'\rangle =\int _{M}g(u,u')$

으로부터 자연스러운 이차 형식^{:91, Lemma Ⅱ.3.7}

$H\colon \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)\to \mathbb {R}$

$H([\alpha ])=\int _{M}g^{-1}(\alpha ,\alpha )$

을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.^{:92, (Ⅱ.3.24):(1.93), Example 3}

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[\alpha ]=-{\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}[\alpha ]$

여기서

• $[\alpha ]\in \Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{1}(M)$은 $M$ 위의 1차 미분 형식의 동치류이다.
• $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$은 (음악 동형에 대한) 벡터장 $\alpha ^{\sharp }$의 발산이 0인 (${\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}\operatorname {vol} =0$) 유일한 대표원 $\alpha \in [\alpha ]$이다.
• ${\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}$는 벡터장 $\alpha ^{\sharp }$에 대한 리 미분이다.

구체적으로, 이 방정식은 $\Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)$에 정의된다. 이를 $\Omega ^{1}(M)$ 위에 제약(영어: constraint)을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, $\alpha ^{\sharp }\in {\mathfrak {SDiff}}(M)$인 임의의 1차 미분 형식 $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.^{:92, (Ⅱ.3.25):(1.94), Example 3}

${\frac {\partial }{\partial t}}\alpha (t,x)=-{\mathcal {L}}_{\alpha ^{\sharp }}\alpha (t,x)-\mathrm {d} p(t,x)$

여기서 $p\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} \times M,\mathbb {R} )$은 $u$의 제약을 위한 보정항이다.

이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다.^{:92, Corollary Ⅱ.3.8} 즉, 속도장 $u\in {\mathfrak {SVect}}(M)$에 대하여 음악 동형으로

$\alpha =u^{\flat }$

로 놓으면,

${\frac {\partial }{\partial t}}u=-\nabla _{u}u-(\mathrm {d} p)^{\sharp }$

가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.

성질

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.

만약 $M$이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 $u\in \Omega ^{1}(M)$에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

$I(u)=\int _{M}u\wedge (\mathrm {d} u)^{(\dim M-1)/2}$

그렇다면, 임의의 $\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$에 대하여

$I(u)=I(u+\mathrm {d} \phi )$

이므로, 이는 사실 $\Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)$ 위의 실수 값 함수를 정의한다.

$I\colon {\frac {\Omega ^{1}(M)}{\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}}\to \mathbb {R}$

마찬가지로, 만약 $M$이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 $\omega \in \Omega ^{\dim M}(M)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 $u\in \Omega ^{1}(M)$ 및 임의의 다항식 $P\in \mathbb {R} [x]$에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

${\tilde {P}}(u)=\int _{M}P\left({\frac {(\mathrm {d} u)^{(\dim M)/2}}{\omega }}\right)\omega$

이 역시 마찬가지로 실수 값 함수

${\tilde {P}}\colon {\frac {\Omega ^{1}(M)}{\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)}}\to \mathbb {R}$

를 정의한다.

공간

$\Omega ^{1}(M)/\mathrm {d} \Omega ^{0}(M)\cong {\mathfrak {SVect}}(M)^{*}$

은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 $\operatorname {SDiff} (M)$의 쌍대딸림표현을 갖는다. $I$와 ${\tilde {P}}$는 $\operatorname {SDiff} (M)$의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다.^{:92, Proposition Ⅱ.3.9} 특히, 홀수 차원의 경우, $I$는 $M$ 위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, ${\tilde {P}}$는 $M$의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.

예

실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 버거스 방정식(영어: Burgers equation)이라고 하며, 다음과 같다.

$0={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial (u^{2})}{\partial x}}$

이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=u(t,x(t))$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u(t,x(t))=0$

이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 $u$는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.

$x(t)=u_{0}t+x_{0}\qquad (u_{0},x_{0}\in \mathbb {R} )$

즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.

$u(x,t)=f(x-u(t,x)t)$

여기서 $f$는 $u$의 초기 조건인 임의의 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 함수이다.

만약 $f(x)=ax+b$일 때, 그 해는 다음과 같다.

$u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}$

역사

오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스(네덜란드어: Jan Burgers)의 이름을 땄다.