실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
볼록 집합
S
{\displaystyle S}
F
⊆
S
{\displaystyle F\subseteq S}
면 (面, 영어 : face )이라고 한다.[1] :121, Chapter 8
공집합 이 아니다.임의의 두
x
,
y
∈
S
{\displaystyle x,y\in S}
0
<
t
<
1
{\displaystyle 0<t<1}
t
x
+
(
1
−
t
)
y
∈
F
{\displaystyle tx+(1-t)y\in F}
x
,
y
∈
F
{\displaystyle x,y\in F}
실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
볼록 집합
S
{\displaystyle S}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
극점 이라고 한다.[1] :120, Chapter 8 [2] :23, Definition 2.10 [3] :369, §A1.3
S
{\displaystyle S}
E
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}(S)}
극점 계수
편집
보다 일반적으로, 실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
볼록 집합
S
{\displaystyle S}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
극점 계수 (영어 : extreme rank )는 다음과 같은 자연수 이다.
ext
(
x
)
=
min
{
k
:
x
=
∑
i
=
0
k
t
i
y
i
,
k
∈
Z
+
,
y
0
,
…
,
y
k
∈
S
,
(
t
0
,
…
,
t
k
)
∈
int
(
Δ
k
)
}
{\displaystyle \operatorname {ext} (x)=\min \left\{k\colon x=\sum _{i=0}^{k}t_{i}y_{i},\;k\in \mathbb {Z} ^{+},\;y_{0},\dotsc ,y_{k}\in S,\;(t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k})\right\}}
여기서, 임의의 양의 정수
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
int
(
Δ
k
)
⊆
(
R
+
)
k
+
1
{\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{k})\subseteq (\mathbb {R} ^{+})^{k+1}}
(
t
0
,
…
,
t
k
)
∈
int
(
Δ
k
)
⟺
def
t
0
+
⋯
+
t
k
=
1
{\displaystyle (t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k}){\overset {\text{def}}{\iff }}t_{0}+\dotsb +t_{k}=1}
는
k
{\displaystyle k}
단체 의 내부 이다. 특히,
int
(
Δ
0
)
=
{
1
}
{\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{0})=\{1\}}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
x
=
1
x
{\displaystyle x=1x}
ext
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \operatorname {ext} (x)\geq 0}
이 경우, 만약
ext
(
x
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {ext} (x)=n}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
임의의 실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
볼록 집합
K
⊆
V
{\displaystyle K\subseteq V}
(
F
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}
⋂
i
∈
I
F
i
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}}
공집합 이 아니라면 항상 면이다.
증명:
임의의
x
,
y
∈
K
{\displaystyle x,y\in K}
t
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle t\in (0,1)}
∀
i
∈
I
:
t
x
+
(
1
−
t
)
y
∈
F
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F_{i}}
라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서
∀
i
∈
I
:
x
,
y
∈
F
{\displaystyle \forall i\in I\colon x,y\in F}
x
,
y
∈
⋂
i
∈
I
F
i
{\displaystyle \textstyle x,y\in \bigcap _{i\in I}F_{i}}
임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간
V
{\displaystyle V}
공집합 이 아닌 콤팩트 볼록 집합
∅
≠
K
⊆
V
{\displaystyle \varnothing \neq K\subseteq V}
닫힌 면
F
⊆
K
{\displaystyle F\subseteq K}
F
{\displaystyle F}
K
{\displaystyle K}
[1] :127, 8.13
증명:
K
{\displaystyle K}
닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합
(
F
,
⊇
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )}
초른 보조정리 를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.
(
F
,
⊆
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}
닫힌 부분 순서 집합 이다.
증명: 닫힌 면들의 사슬
(
F
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}
⋂
i
∈
I
F
i
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}}
칸토어의 교점 정리 에 의하여) 공집합 이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합 의 교집합 은 닫힌집합 이므로) 닫힌집합 이다.
(
F
,
⊇
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )}
최대 원소 는 한원소 집합 이다.
증명: 임의의 닫힌 면
F
⊆
K
{\displaystyle F\subseteq K}
x
,
y
∈
F
{\displaystyle x,y\in F}
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
한-바나흐 정리 에 따라,
ϕ
(
x
)
≠
ϕ
(
y
)
{\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)}
ϕ
:
V
→
R
{\displaystyle \phi \colon V\to \mathbb {R} }
F
{\displaystyle F}
콤팩트 집합 이므로
ϕ
(
F
)
{\displaystyle \phi (F)}
최댓값 을 갖는다. 따라서
G
=
ϕ
−
1
(
max
x
∈
F
ϕ
(
x
)
)
{\displaystyle G=\textstyle \phi ^{-1}(\max _{x\in F}\phi (x))}
닫힌집합 이며, 또한 면을 이룬다. 또한,
ϕ
(
x
)
≠
ϕ
(
y
)
{\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)}
G
{\displaystyle G}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
G
⊊
F
{\displaystyle G\subsetneq F}
F
{\displaystyle F}
(
F
,
⊇
F
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq F)}
최대 원소 가 될 수 없다.
극점의 볼록 폐포
편집
임의의 실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
볼록 집합
S
{\displaystyle S}
x
,
y
∈
S
{\displaystyle x,y\in S}
t
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle t\in (0,1)}
ext
S
(
t
x
+
(
1
−
t
)
y
)
<
ext
S
(
x
)
+
ext
S
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {ext} _{S}(tx+(1-t)y)<\operatorname {ext} _{S}(x)+\operatorname {ext} _{S}(y)}
크레인-밀만 정리 에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간
V
{\displaystyle V}
콤팩트 볼록 집합
K
⊆
V
{\displaystyle K\subseteq V}
볼록 폐포 와 일치한다.
증명: [1] :128, Theorem 8.14 [3] :371, Theorem A1.6
K
=
∅
{\displaystyle K=\varnothing }
K
≠
∅
{\displaystyle K\neq \varnothing }
K
{\displaystyle K}
E
(
K
)
⊆
K
{\displaystyle {\mathcal {E}}(K)\subseteq K}
co
(
E
(
K
)
)
⊆
K
{\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))\subseteq K}
co
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {co} (-)}
볼록 폐포 이다.) 따라서
K
⊆
co
(
E
(
K
)
)
{\displaystyle K\subseteq \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}
귀류법 을 사용하여,
x
∈
K
∖
co
(
E
(
K
)
)
{\displaystyle x\in K\setminus \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}
한-바나흐 정리 에 의하여,
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
co
(
E
(
K
)
)
{\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}
inf
e
∈
co
(
E
(
K
)
)
ϕ
(
e
)
>
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \inf _{e\in \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}\phi (e)>\phi (x)}
가 성립하는 실수 값 선형 범함수
ϕ
:
R
n
→
R
{\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
가 존재한다.
K
{\displaystyle K}
콤팩트 볼록 집합 이므로 그 상
ϕ
(
K
)
{\displaystyle \phi (K)}
닫힌구간
[
s
,
t
]
⊆
R
{\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} }
s
≤
ϕ
(
e
)
c
≤
t
{\displaystyle s\leq \phi (e)c\leq t}
F
=
ϕ
−
1
(
t
)
{\displaystyle F=\phi ^{-1}(t)}
K
{\displaystyle K}
닫힌 면이며, 정의에 따라
F
∩
co
(
E
(
K
)
)
=
∅
{\displaystyle F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))=\varnothing }
F
{\displaystyle F}
K
{\displaystyle K}
∅
≠
F
∩
E
(
K
)
⊆
F
∩
co
(
E
(
K
)
)
{\displaystyle \varnothing \neq F\cap {\mathcal {E}}(K)\subseteq F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}
모순 이다.
체르멜로-프렝켈 집합론 과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간 에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리 와 동치이다.
또한, 에드거 정리 (영어 : Edgar’s theorem )에 따르면, 반사 바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
유계 볼록 닫힌집합
K
{\displaystyle K}
볼록 폐포 와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합 인 것은 콤팩트 집합 인 것보다 더 약한 조건이다.)
밀만 정리 (영어 : Milman’s theorem )에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간
V
{\displaystyle V}
콤팩트 볼록 집합
K
⊆
V
{\displaystyle K\subseteq V}
T
⊆
K
{\displaystyle T\subseteq K}
T
{\displaystyle T}
볼록 닫힌집합 이
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
T
{\displaystyle T}
폐포 에 속한다.[1] :138, Theorem 9.4
극점 위의 측도
편집
임의의 실수 위상 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
콤팩트 집합
K
⊆
V
{\displaystyle K\subseteq V}
베르 집합
A
∈
Baire
(
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Baire} (K)}
측도
μ
:
Baire
(
A
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
∀
f
∈
V
∗
:
f
(
x
0
)
=
∫
A
ϕ
d
μ
{\displaystyle \forall f\in V^{*}\colon f(x_{0})=\int _{A}\phi \,\mathrm {d} \mu }
가 성립한다면,
v
{\displaystyle v}
μ
{\displaystyle \mu }
무게 중심 (-中心, 영어 : barycenter )이라고 하자. (여기서
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
연속 쌍대 공간 이다.)
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 쇼케 정리 (영어 : Choquet’s theorem )에 따르면 다음이 성립한다.[1] :168, Theorem 10.7
K
{\displaystyle K}
E
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}(K)}
K
{\displaystyle K}
보렐 집합 이다.임의의
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
x
{\displaystyle x}
확률 측도
μ
:
Baire
(
E
(
K
)
)
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]}
한원소 집합 의 유일한 점은 0-극점이다.
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
닫힌 공
cl
(
ball
R
n
(
0
→
,
1
)
)
=
{
v
→
∈
R
n
:
‖
v
→
‖
≤
1
}
{\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{n}}({\vec {0}},1))=\left\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|\leq 1\right\}}
의 0-극점들은 초구
S
n
−
1
=
{
v
→
∈
R
n
:
‖
v
→
‖
=
1
}
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|=1\}}
이며, 나머지 모든 점(열린 공 )은 1-극점이다.
비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례
편집
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
≥
=
{
t
∈
R
:
t
≥
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }=\{t\in \mathbb {R} \colon t\geq 0\}}
은 닫힌집합 이며 볼록 집합 이지만 유계 집합 이 아니다. 그 속의 0-극점들은
0
∈
R
≥
{\displaystyle 0\in \mathbb {R} _{\geq }}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
볼록 폐포 는
{
0
}
≠
R
≥
{\displaystyle \{0\}\neq \mathbb {R} _{\geq }}
보다 일반적으로,
n
{\displaystyle n}
유클리드 공간 속의 닫힌 반공간
R
≥
×
R
n
−
1
⊆
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
은
k
≤
n
−
2
{\displaystyle k\leq n-2}
k
{\displaystyle k}
경계 의 점
x
∈
∂
(
R
≥
×
R
n
−
1
)
=
{
0
}
×
R
n
−
1
{\displaystyle x\in \partial (\mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1})=\{0\}\times \mathbb {R} ^{n-1}}
은
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
{\displaystyle n}
비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례
편집
크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합 을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간 이 존재한다.[4]
유클리드 공간 에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키 가 20세기 초에 증명하였다.[5]
바나흐 공간 에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인 과 다비트 핀후소비치 밀만(러시아어 : Дави́д Пи́нхусович Ми́льман , 히브리어 : דוד פינחוסוביץ' מילמן [6] :134
밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.[7]
쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(프랑스어 : Gustave Choquet , 1915~2006)가 증명하였다.
참고 문헌
편집
외부 링크
편집
![{\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311f5f6dfef9f44112c0b47e2616042e15c2f68c)
![{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8fe1a0bd6e8562a188b8df5cf4219b37df7651)
![{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eb80eb79fecf1d6345b9707b7ce3619f6b70ad)
