극한 주기 궤도

동역학계 이론에서 극한 주기 궤도(極限週期軌道, 영어: limit cycle)는 주기 궤도 가운데 적어도 하나 이상의 다른 궤도의 극한 집합을 이루는 것이다.

안정 극한 주기 궤도의 푸앵카레 사상. 안정 극한 주기 궤도는 굵은 검은 선으로 표시하였고, 이로 수렴하는 다른 궤도들은 가는 검은 선으로 표시하였다.

판데르폴 진동자에서의 극한 주기 궤도

정의

위상 공간 $X$ 위의 연속 시간 동역학계

$\phi \colon \mathbb {R} \times X\to X$

$\forall x\in X\colon \phi (0,x)=x$

$\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \forall x\in X\colon \phi (t_{1},\phi (t_{2},x))=\phi (t_{1}+t_{2},x)$

위의, 초기 조건 $x\in X$의 궤도(軌道, 영어: orbit)는 다음과 같은 꼴의 집합이다.

$\gamma (x)=\{\phi (t,x)\colon t\in \mathbb {R} \}$

이 동역학계의 주기 궤도(週期軌道, 영어: periodic orbit, cycle)는 다음 조건을 만족시키는 초기 조건 $x$에 대한 궤도이다.

$\exists t\neq 0\colon \phi (t,x)=x$

극한 주기 궤도는 다음 조건을 만족시키는 주기 궤도 $\gamma (x)$이다.

• $\omega _{\pm }(y)=\gamma (x)$가 되는 $y\in X\setminus \gamma (x)$가 존재한다.

여기서 $\omega _{\pm }$은 안정 또는 불안정 극한 집합이다.

극한 주기 궤도 $\gamma (x)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U\supset \gamma (x)$이 존재한다면, $\gamma (x)$를 안정 극한 주기 궤도(安定極限週期軌道, 영어: stable limit cycle)이라고 한다.

• 모든 $y\in U$에 대하여, $\omega _{+}(y)=\gamma (x)$

극한 주기 궤도 $\gamma (x)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U\supset \gamma (x)$이 존재한다면, $\gamma (x)$를 불안정 극한 주기 궤도(不安定極限週期軌道, 영어: unstable limit cycle)이라고 한다.

• 모든 $y\in U$에 대하여, $\omega _{-}(y)=\gamma (x)$

그러나 안정 극한 주기 궤도도, 불안정 극한 주기 궤도도 아닌 극한 주기 궤도가 존재한다. 안정 극한 주기 궤도는 끌개의 예이다.

참고 문헌

• Moehlis, Jeff; Josic, Kresimir; Shea-Brown, Eric T. “Periodic orbit”. 《Scholarpedia》 (영어) 1 (7): 1358. doi:10.4249/scholarpedia.1358. ISSN 1941-6016. 
• Robinett, Rush D., III; Wilson, David G. (2008). “What is a limit cycle?”. 《International Journal of Control》 (영어) 81 (12): 1886–1900. doi:10.1080/00207170801927163. 

외부 링크

• “Limit cycle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit cycle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 평형점
• 끌개
• 푸앵카레-벤딕손 정리
• 호프 분기