근접 대수

순서론에서, 근접 대수(近接代數, 영어: incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.

정의편집

국소 유한 부분 순서 집합(영어: locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합  가 주어지고, 임의의  에 대하여 폐구간

 

가 유한집합이라면,  를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합  와, (단위원을 갖는) 가환환  가 주어졌다고 하고,    속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자.   위의,   계수의 근접 대수    꼴의 함수들의 집합이다.

 에 대하여, 편의상  로 쓰자. 또한,  는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉,  를 (무한할 수 있는) 행렬

 

로 생각할 수 있다.

점별 덧셈과 곱셈편집

근접 대수   위에는 다음과 같은  -대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다.

  • (덧셈)  
  • (곱셈)  

덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수   -가환 대수를 이룬다. 즉,  가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형

 
 

이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수

 
 

이며, 이를 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.

합성곱편집

또한, 근접 대수   위에는 합성곱(영어: convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산  이 존재한다.

 

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,

 

가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.

합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 델타 함수  이다.

 

이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수    위의 단위 결합 대수를 이룬다.

계수의 근접 대수의 원소  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
  • 임의의  에 대하여  이다.

제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 뫼비우스 함수  라고 하며 다음과 같다.

 
 

함수 위의 작용편집

국소 유한 부분 순서 집합  가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

 

( 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수    위의,   값을 갖는 함수의 집합   위에 다음과 같이 작용한다.

 

즉,    왼쪽 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약  가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

 

( 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수    위의,   값을 갖는 함수의 집합   위에 다음과 같이 작용한다.

 

즉,    오른쪽 가군을 이룬다.

만약

 

이며,  가 합성곱 아래 역원을 갖는다면

 

가 된다. 특히, 만약  일 경우  이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

 

마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

 

이를 뫼비우스 반전 공식(영어: Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

편집

대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상  이다.

집합   부분 순서   뫼비우스 함수   반전 공식
양의 정수의 집합     의 약수:     ( 는 수론에서의 뫼비우스 함수) 뫼비우스 반전 공식
음이 아닌 정수의 집합       유한 차분의 기본 정리   ( 유한 차분,  )
유한 집합  멱집합       포함배제의 원리
유한 집합  분할들의 집합   보다 더 세밀한 분할  .   의 블록 수,   의 블록 수,  는 정확하게  개의  -블록들을 포함하는  -블록들의 수
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역사편집

잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Rota, Gian-Carlo (1964). “On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions” (PDF). 《Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete》 (영어) 2 (4): 340–368. doi:10.1007/BF00531932. ISSN 0044-3719. Zbl 0121.02406. 

외부 링크편집