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글레이셔-킨켈린 상수
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글레이셔
-
킨켈린
상수 (Glaisher-Kinkelin constant)는
K
{\displaystyle K}
함수와
G
{\displaystyle G}
함수로 관계된다.
A
≈
1.2824271291
…
{\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots }
(OEIS A074962)
[1]
A
=
lim
n
→
∞
K
(
n
+
1
)
n
n
2
2
+
n
2
+
1
12
e
−
n
2
4
{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{{K(n+1)} \over {n^{{{n^{2}} \over {2}}+{n \over 2}+{1 \over 12}}e^{{-n^{2}} \over {4}}}}}
K
{\displaystyle K}
함수(K-function)
K
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
−
1
k
k
{\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}
∏
k
=
1
∞
k
1
k
2
=
(
A
12
2
π
e
γ
)
π
2
6
{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{1 \over k^{2}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{{\pi ^{2}} \over 6}}
원주율
π
,
{\displaystyle {\pi },}
자연로그의 밑
e
,
γ
{\displaystyle {e}\;\;,\;\;\;\gamma }
오일러-마스케로니 상수
G
{\displaystyle G}
함수(G-function)
G
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
−
2
k
!
=
[
Γ
(
n
)
]
n
−
1
K
(
n
)
{\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}
여기서
Γ
(
n
)
{\displaystyle \;\;\Gamma (n)}
는
감마 함수
A
=
lim
n
→
∞
(
2
π
)
n
2
n
n
2
2
−
1
12
e
−
3
n
2
4
+
1
12
G
(
n
+
1
)
{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{{(2\pi )^{n \over 2}n^{{n^{2} \over 2}-{1 \over 12}}e^{{{-3n^{2}} \over {4}}+{1 \over 12}}} \over {G(n+1)}}}
리만 제타 함수
와의 상관관계
리만 제타 함수 미분
ζ
′
(
−
1
)
=
1
12
−
ln
A
{\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}
−
ζ
′
(
2
)
=
π
2
6
[
12
ln
A
−
γ
−
ln
(
2
π
)
]
=
∑
k
=
2
∞
ln
k
k
2
{\displaystyle -\zeta ^{\prime }(2)={{\pi ^{2}} \over 6}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]=\sum _{k=2}^{\infty }{{\ln k} \over {k^{2}}}}
1
2
ζ
′
(
−
1
)
=
1
24
−
1
2
ln
A
=
∫
0
∞
x
ln
x
e
2
π
x
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A=\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx}
e
{\displaystyle \color {blue}{e}}
와 상관된 자연로그의 밑에서의 글레이셔-킨켈린 상수
ln
A
=
1
8
−
1
2
∑
n
=
0
∞
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
1
)
2
ln
(
k
+
1
)
{\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}
같이 보기
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수학 상수
리만 제타 함수
감마 함수
프라임 제타 함수
참고
편집
↑
(
OEIS
A074962)