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기하학

도형의 길이, 넓이, 각도 등의 양을 측정하거나 공간의 수학적 특성을 따지는 분야이다.

기하학(幾何學, 그리스어: γεωμετρία, 영어: geometry)은 공간에 있는 도형의 성질 즉, 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 , , , 도형, 공간과 같은 것이 있다.[1]

어원편집

‘기하(幾何)’는 길이·넓이 등이 ‘얼마인가?’를 뜻하는 말로, 구장산술 등 고대 중국의 수학책에서 ‘밭의 넓이가 얼마인가(為田幾何)’ 같은 표현으로 쓰이기도 했다. 현대의 기하학이라는 말은 1607년 명나라서광계마테오 리치와 함께 크리스토퍼 클라비우스가 편집한 에우클레이데스의 원론 라틴어판을 번역하면서 Geometria를 음차하여 ‘기하(幾何)’로 번역한 것이 직접적인 유래이다. 책의 제목도 기하원본(幾何原本)이라고 붙여졌다.[2]

라틴어 Geometria는 고대 그리스어 γεωμετρία에서 온 말이며, 이는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말이다.[3]

역사편집

기하학의 시작편집

 
YBC 7289 점토판


고전 기하학편집

 
아르키메데스는 원기둥에 놓인 구를 자신의 묘비에 새기게 하였다.


  1. 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다.
  2. 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다.
  3. 점 O를 정점으로 하고 반지름이 OP인 원을 그릴 수 있다.
  4. 모든 직각은 합동이다.
  5. 하나의 직선 위에 있지 않은 점 P를 지나는 평행선은 유일하다.
 
정삼각형의 작도


주요 기초 정리편집

피타고라스의 정리편집

유클리드 기하학에서 널리 알려진 기본 정리는 피타고라스의 정리가 있다. 직각삼각형의 세 변 a, b, c에서 c를 빗변이라고 할 때  가 된다는 이 정리는 고대 부터 널리 알려져 있었으며, 수 많은 방식으로 증명되어 있다.[4]

아래는 피타고라스의 정리에 대한 간단한 대수적 증명이다.

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는  이고, 따라서 넓이는  이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는  , 네 개의 직각삼각형의 넓이는  가 된다.

따라서, 전체 넓이는  가 된다. 그러므로

 

가 성립한다.

원뿔 곡선편집

 
여러 가지 원뿔 곡선

원뿔 곡선은 하나의 평면으로 원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선, 타원, 포물선, 쌍곡선을 말한다.[5] 원뿔 곡선에 대한 연구는 고대 그리스 시대에서 부터 계속되어 왔다.

각 곡선에 대한 기하학의 정의는 다음과 같다.

  • 원: 평면 위의 하나의 정점에서 거리가 일정한 점들의 집합
  • 타원: 평면 위의 두 정점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합
  • 포물선: 평면 위의 하나의 정점과 이를 지나지 않는 하나의 직선에서 같은 거리에 있는 점들의 집합.
  • 쌍곡선: 평면 위의 두 정점에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합

오일러의 다면체 정리편집

오일러의 다면체 정리레온하르트 오일러가 발견한 도형의 점, 선, 면의 관계이다. 꼭지점의 개수를  , 모서리의 개수를 , 면의 개수를  라고 하면  의 관계가 성립한다. 오일러의 다면체 정리는 쾨니히스베르크의 다리 문제에서 비롯된 한붓그리기와 함께 도형에 변형이 있더라도 변하지 않는 속성이 있다는 점을 일깨워 준다. 이는 호몰로지 라는위상수학의 개념으로 발전하였다.[6]

가우스의 정17각형 작도 가능 증명편집

1796년 가우스는 변의 개수가 페르마 소수정다각형은 자와 컴퍼스만으로 작도가 가능하다는 것을 보였다. 특히, 3월 30일에 정17각형의 작도법을 발견하였다. 이것은 고대 그리스 시대부터 수학에서 중요한 부분을 차지해 온 작도 문제에서 주요한 발견이었다.[7] 이는 π⁄17의 삼각함수 값이 사칙연산제곱근만으로 표현이 가능하다는 것을 의미한다.[8]

 

이러한 가우스의 증명은 다시 사칙연산과 제곱근으로 표현 가능한 도형은 작도가 가능하다는 가능성을 의미하게 되었다.

분야편집

주해편집


각주편집

  1. Howard Eves, 허민·오혜영 역, 《수학의 기초와 기본 개념》, 〈제4장 힐베르트의 기초〉, 경문사, ISBN 89-7282-217-5
  2. 김학순, 세상을 바꾼 책 이야기 (40) 유클리드의 기하학 원론, 경향신문, 2015년 3월 2일
  3. geometry, Online Etymology Dictionary
  4. Pythagorean Theorem
  5. Conic Sections
  6. 사쿠라이 스스무, 정미애 역, 《수학으로 우주재패》, 살림MATH, 2008년 ISBN 978-89522-0988-7, 76쪽
  7. 카를 프리드리히 가우스
  8. 십칠각형

외부 링크편집