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다중극 전개(多重極展開, multipole expansion)는 수학물리학에서 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다.

정의편집

어떤 부피  가 생성하는 퍼텐셜  가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.

 

그렇다면   안에 임의의 "중심"  을 잡아,  를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.

 .

여기서   항을 홀극(-極, monopole),   항을 쌍극(雙極, dipole),   항을 사중극(四重極, quadrupole),   항을 팔중극(八重極, octupole), 일반적으로   항을  중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식  생성 함수이다.

 .

여기서

 

   사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

 .

일반적으로  는 다음과 같이  텐서로 쓸 수 있다.

 .

즉, 편의상

 
 

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

 .

여기서  차 텐서    중극자 모멘트라고 부른다.

참고 문헌편집

같이 보기편집