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대수학에서, 다항식환(多項式環, polynomial ring)은 어떤 주어진 의 원소를 계수로 하는 다항식, 즉

(는 형식적 기호)꼴의 식들이 상식과 일치하는 덧셈과 곱셈에 의해 이루는 이다.

목차

정의편집

  위의 다항식환  는,

 

 

 

(다항식)들의 집합  

 
 

로 정의된 두 이항연산  으로 이루어진 환이다. 각 다항식들은

 

으로 나타내며, 이때 덧셈과 곱셈은

 
 

로 표현된다. 0이 아닌 임의의 다항식  에 대해, 유일하게

 

 을 다항식  차수라고 하고,  로 표기한다. 즉

 

임의의 환   위의 다항식환  도 똑같이 정의된다.

성질편집

다항식환은 환으로서 만족해야할 모든 성질들을 갖춘다. 체 위의 다항식환  는 다음을 추가적으로 만족한다.

대수편집

 에 대하여,  에 다음과 같은 스칼라배 연산을 정의할 수 있다.

 

이는  와 동형인   내의 상수다항식들과의 곱셈과 동등하다.

 는 덧셈, 스칼라배에 의한 벡터 공간이다. 나아가  는, 덧셈, 곱셈, 스칼라배 연산에 의한 틀:수변-대수이다. 다항식 대수는 때로 대수  (또는  )의  에 의해 생성된 부분대수로 정의된다.

가환환   위의  에도, 비슷한 (가군) 연산에 의한 R-대수 구조가 존재한다.  이 비가환환이라면,  에는 연산

 

에 의하여 좌·우 R-가군 구조가 형성된다.

생성환과의 관계편집

 에 대하여,

 에 대한 다항식환은 유클리드 정역이다.

다변수 다항식환편집

  과 같다.

참고 문헌편집

  • Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집

같이 보기편집