대수학 에서 다항식환 (多項式環, 영어 : polynomial ring )은 어떤 주어진 환 을 계수로 하는 다항식 들로 구성된 환 이다.
환
R
{\displaystyle R}
다항식환
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
{
p
∈
R
N
:
|
{
n
∈
N
:
p
n
≠
0
}
|
<
ℵ
0
}
{\displaystyle \{p\in R^{\mathbb {N} }\colon |\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}}
이다. 이 집합의 원소를 다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
p
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
x
n
=
p
0
+
p
1
x
+
p
2
x
2
+
⋯
{\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots }
으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈
p
(
x
)
+
q
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
p
n
+
q
n
)
x
n
{\displaystyle p(x)+q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(p_{n}+q_{n})x^{n}}
은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우
R
{\displaystyle R}
가군 구조가 존재한다.
r
p
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
r
p
n
x
n
{\displaystyle rp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }rp_{n}x^{n}}
p
(
x
)
r
=
∑
n
=
0
∞
p
n
r
x
n
{\displaystyle p(x)r=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}rx^{n}}
또한,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
환 의 구조가 존재한다.
p
(
x
)
q
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
p
k
q
n
−
k
x
n
{\displaystyle p(x)q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}q_{n-k}x^{n}}
다변수 다항식환 (多變數多項式環, 영어 : polynomial ring in several variables )
R
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}
R
[
x
1
]
[
x
2
]
⋯
[
x
n
]
{\displaystyle R[x_{1}][x_{2}]\cdots [x_{n}]}
p
∈
R
[
x
1
,
…
,
x
k
]
{\displaystyle p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}
p
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
n
1
=
0
∞
⋯
∑
n
k
=
0
∞
p
n
1
,
…
,
n
k
x
1
n
k
⋯
x
k
n
k
{\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{k}=0}^{\infty }p_{n_{1},\dots ,n_{k}}x_{1}^{n_{k}}\cdots x_{k}^{n_{k}}}
로 표기한다.
다항식
0
≠
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle 0\neq p\in R[x]}
차수 (次數, 영어 : degree )는
deg
p
=
max
{
n
∈
N
:
p
n
≠
0
}
{\displaystyle \deg p=\max\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}}
이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은
deg
0
=
−
∞
{\displaystyle \deg 0=-\infty }
deg
0
=
−
1
{\displaystyle \deg 0=-1}
보다 일반적으로, 다변수 다항식
0
≠
p
∈
R
[
x
1
,
…
,
x
k
]
{\displaystyle 0\neq p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}
차수 는
deg
p
=
max
{
n
1
+
⋯
+
n
k
:
p
n
1
,
…
,
n
k
≠
0
}
{\displaystyle \deg p=\max\{n_{1}+\cdots +n_{k}\colon p_{n_{1},\dots ,n_{k}}\neq 0\}}
이다.
다항식
p
,
q
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p,q\in R[x]}
다변수 다항식
p
,
q
∈
R
[
x
1
,
…
,
x
k
]
{\displaystyle p,q\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}
deg
0
=
−
∞
{\displaystyle \deg 0=-\infty }
deg
(
p
+
q
)
≤
max
{
deg
p
,
deg
q
}
{\displaystyle \deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\}}
만약
deg
p
≠
deg
q
{\displaystyle \deg p\neq \deg q}
deg
(
p
+
q
)
=
max
{
deg
p
,
deg
q
}
{\displaystyle \deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\}}
deg
(
p
q
)
≤
deg
p
+
deg
q
{\displaystyle \deg(pq)\leq \deg p+\deg q}
만약
R
{\displaystyle R}
영역 이라면,
deg
(
p
q
)
=
deg
p
+
deg
q
{\displaystyle \deg(pq)=\deg p+\deg q}
다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
근 (根, 영어 : root )은
p
(
r
)
=
0
{\displaystyle p(r)=0}
환 의 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
(
x
−
r
)
m
∣
p
(
x
)
{\displaystyle (x-r)^{m}\mid p(x)}
m
{\displaystyle m}
r
{\displaystyle r}
중복도 (重復度, 영어 : multiplicity )라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근 (單純根, 영어 : simple root )이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근 (多重根, 영어 : multiple root )이라고 한다.
가환환
R
{\displaystyle R}
다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
환 의 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
인수 정리 에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
r
{\displaystyle r}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
x
−
r
∣
p
(
x
)
{\displaystyle x-r\mid p(x)}
가환환
R
{\displaystyle R}
다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
동치 이다.
r
{\displaystyle r}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
p
′
(
r
)
≠
0
{\displaystyle p'(r)\neq 0}
표수
c
{\displaystyle c}
체
K
{\displaystyle K}
다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
m
{\displaystyle m}
만약
c
∤
m
{\displaystyle c\nmid m}
p
′
(
x
)
{\displaystyle p'(x)}
a
{\displaystyle a}
m
−
1
{\displaystyle m-1}
만약
c
∣
m
{\displaystyle c\mid m}
p
′
(
x
)
{\displaystyle p'(x)}
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
특히, 만약
c
=
0
{\displaystyle c=0}
c
>
m
{\displaystyle c>m}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
a
{\displaystyle a}
m
=
min
{
k
∈
Z
+
:
p
(
k
)
(
a
)
≠
0
}
{\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon p^{(k)}(a)\neq 0\}}
이다.
대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
동치 이다.
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
gcd
{
p
(
x
)
,
p
′
(
x
)
}
≠
1
{\displaystyle \gcd\{p(x),p'(x)\}\neq 1}
체
K
{\displaystyle K}
기약 다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
동치 이다.
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
분해 가능 다항식 이다. (즉, 대수적 폐포
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
p
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle p'(x)=0}
특히, 만약
K
{\displaystyle K}
표수 가 0이거나,
K
{\displaystyle K}
유한체 라면,
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
분해 가능 다항식 이다.
환
R
{\displaystyle R}
만약
R
{\displaystyle R}
가환환 이라면,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
가환환 이다.
만약
R
{\displaystyle R}
영역 이라면,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
영역 이다.
만약
R
{\displaystyle R}
정역 이라면,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
정역 이다.
만약
R
{\displaystyle R}
유일 인수 분해 정역 이라면,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
유일 인수 분해 정역 이다.
(힐베르트 기저 정리 ) 만약
R
{\displaystyle R}
가환 뇌터 환 이라면,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
가환 뇌터 환 이다.
만약
R
{\displaystyle R}
체 라면,
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
유클리드 정역 이다. 영역
R
{\displaystyle R}
다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
동치 이다.
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
가역원 이다.
p
∈
R
{\displaystyle p\in R}
p
{\displaystyle p}
R
{\displaystyle R}
가역원 이다.다항식환은 다음과 같은 보편 성질 을 만족시킨다. 임의의 가환환
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
환 준동형
ϕ
:
R
→
S
{\displaystyle \phi \colon R\to S}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
환 준동형
ϕ
~
:
R
[
x
]
→
S
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S}
ϕ
~
|
R
=
ϕ
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}|_{R}=\phi }
ϕ
(
x
)
=
s
{\displaystyle \phi (x)=s}
특히, 다음 그림이 가환한다.
R
↪
R
[
x
]
ϕ
↘
↓
ϕ
~
S
{\displaystyle {\begin{matrix}R&\hookrightarrow &R[x]\\&{\scriptstyle \phi }\searrow &\downarrow {\scriptstyle {\widetilde {\phi }}}\\&&S\end{matrix}}}
구체적으로,
ϕ
~
:
p
(
x
)
↦
∑
n
=
0
∞
ϕ
(
p
n
)
s
n
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon p(x)\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\phi (p_{n})s^{n}}
이다.
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle p\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4830e9e21e96da6790f048b35d448d9884d4409e)
![{\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de1d5767a8f5ee8e1b21bad9b0a1b973342f0d3)
![{\displaystyle R[x_{1}][x_{2}]\cdots [x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3cacdc6c86e22915870b426dd0a86287ee2892)
![{\displaystyle p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b76ab6322524335be79cb662a6a7442601ebc33)
다항식 § 차수 문서를 참고하십시오.![{\displaystyle 0\neq p\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3fe9b29fb9a0b0f39c7e94cce7ced9dcf5c693)
![{\displaystyle 0\neq p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab06a63b6e38e3d35e0eac23915e92e80f8ccd0)
![{\displaystyle p,q\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbd5f5420a7b683b219d941de2e65b538d9e0f3)
![{\displaystyle p,q\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0546c5719afdcbd8a590b665c24fea2fad56b4)
![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
![{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3007465cffb5d000416a25d88e6bda542bde8fe4)
![{\displaystyle {\begin{matrix}R&\hookrightarrow &R[x]\\&{\scriptstyle \phi }\searrow &\downarrow {\scriptstyle {\widetilde {\phi }}}\\&&S\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a960f07af53988de8ea012268644b5b7a5cc33a8)
