단순 함수

측도론에서, 단순 함수(單純函數, 영어: simple function)는 유한 가지 값만을 가지는 가측 함수이다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  •  
  •  -바나흐 공간  
  • 가측 공간  

그렇다면,  에서  로 가는 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수이다.

 
 
 
 
 

여기서  지시 함수이다.

성질편집

모든 단순 함수는 가측 함수이다. 따라서 단순 함수의 열의 점별 극한은 (만약 존재한다면) 가측 함수이다. 페티스 가측성 정리에 따라, 만약 공역  분해 가능 바나흐 공간일 경우, 가측 함수는 단순 함수의 열의 점별 극한과 동치이다. 그러나 일반적인 바나흐 공간 값 함수의 경우 단순 함수의 열의 점별 극한이 아닌 가측 함수가 존재할 수 있다.

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모든 지시 함수 또는 계단 함수는 단순 함수이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집