단위하중법

구조물의 변위를 계산하기 위해 사용되는 방법의 하나

단위하중법(單位荷重法, unit dummy force method)은 구조물의 변위를 계산하기 위해 사용되는 방법의 하나이다. 선형 또는 비선형 거동을 하는 재료 모두에 적용 가능하며 환경 효과도 고려할 수 있으므로 카스틸리아노의 제2정리보다 더 일반적인 방법이다.

트러스들보, 강절 뼈대와 같은 구조물은 부재가 절점에서 서로 연결된다. 유연도법 등을 사용해 구한 M개의 전체 부재의 변위를 라고 하자. 이러한 부재의 변위는 구하고자 하는 각 절점의 변위 를 유발하게 된다.

N개의 절점 변위 r에 대응하는 가상의 절점 하중 을 재하했을 때, 평형을 만족하는 가상의 부재력

이다. 정정(靜定)계라면 절점 평형을 만족하는 이 무한히 많기 때문에 B 행렬은 유일하지 않다. 이 때는 원래의 계에서 유도된 기본계의 절점 평형 행렬의 역행렬을 취해 B 행렬을 구할 수 있다.

내적 가상 하중과 외적 가상 하중에 대해 각각 실재의 변위가 발생한다고 하면,

외적 가상일:
내적 가상일:

인데, 가상일의 원리에 의해 외적 가상일과 내적 가상일은 같으므로

여기에 (1)을 대입하면

위의 식으로부터

식 (2)를 계산하는 데에는 계의 복잡도와 상관없이 적분을 할 필요가 없으며, B를 구하는 데 어떤 기본계를 사용했는지와 관계없이 유일한 결과를 얻을 수 있다. 이 식은 절점의 변위(또는 회전각)를 구하는 데 사용되지만, 임의 점에서의 변위 역시 구하고자 하는 점에 절점을 생성하면 계산할 수 있다.

단위하중이라는 이름은 B 행렬의 성분 가 단위 절점 하중 과의 평형을 만족하는 부재력인 것에서 유래하였다.

일반 계편집

일반 계에 있어서 단위하중법은 가상일의 원리로부터 직접 유도된다. 기지의 실제 변형  가 있다고 하자. 이 변형은 전체 계에 대해 변위를 유발한다. 예를 들어, 계의 임의의 점 A는 A'로 이동되며, 그 변위 r을 구하는 것이 목적이다. 이를 구하기 위해서 변위 r의 방향으로 단위하중 R*을 재하한다. 이때 외적 가상일은

 

인데, 여기서 r은 구하고자 하는 변위이다. 한편, 가상 응력으로 인한 내적 가상일은

 

(단, 가상 응력  는 모든 점에서 평형을 만족해야 한다.)

위의 두 식을 연립하면

 

r이 구해진다.