단조 수렴 정리

(단조수렴정리에서 넘어옴)

실해석학에서 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

정의편집

측도 공간   위의 음이 아닌 가측 함수의 열   ( ) 및 함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

  • (증가 함수열) 임의의   에 대하여,  
  • (점별 수렴) 임의의  에 대하여,  

단조 수렴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:30

  •  가측 함수이다.
  •  

이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간   위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열  에 대하여, 다음이 성립한다.

  •  가측 함수이다.
  •  

증명:

우선  가측 함수임을 보이자. 임의의  에 대하여, 각  가측 함수이므로,  이며, 따라서

 

이다. 즉,  가측 함수가 맞다.

임의의  에 대하여,  이므로,

 

이며, 이에  을 취하면

 

을 얻는다.

이제,  인 임의의 단순 함수  와 임의의  을 고정하고, 임의의  에 대하여

 

라고 하자. 그렇다면,  이며,  이다. 또한, 임의의  에 대하여,

 

이다.  을 취하면

 

를 얻으며, 다시  을 취하면

 

를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

 

이다.

따름정리편집

급수에 대한 푸비니 정리편집

단조 수렴 정리를 자연수의 집합   위의 셈측도 공간  에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬  에 대하여, 다음이 성립한다.[2]:168

 

절대 연속 측도편집

임의의 측도 공간   및 음이 아닌 가측 함수  에 대하여, 함수

 

  위의 측도를 이루며, 또한 이는  -절대 연속 측도를 이룬다 (즉,   을 함의한다).

증명:

임의의 가산 무한 개의 서로소 집합  에 대하여, 각  은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

 

이다. 따라서  측도이다.

만약  이며  이라면,  -거의 어디서나  이므로,

 

이다. 따라서   -절대 연속 측도이다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
  2. J Yeh (2006). 《Real analysis. Theory of measure and integration》. 

참고 문헌편집

외부 링크편집