단조 수렴 정리

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실해석학에서 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

정의

측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 위의 음이 아닌 가측 함수의 열 $f_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))$ ($n\in \mathbb {N}$) 및 함수 $f\colon X\to [0,\infty ]$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• (증가 함수열) 임의의 $n\in \mathbb {N}$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$
• (점별 수렴) 임의의 $x\in X$에 대하여, $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$

단조 수렴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^:30

• $f$는 가측 함수이다.
• $\int _{X}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu$

이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 $g_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$는 가측 함수이다.
• $\int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{X}g_{n}d\mu$

증명:

우선 $f$가 가측 함수임을 보이자. 임의의 $a\in [0,\infty ]$에 대하여, 각 $f_{n}$이 가측 함수이므로, $f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma$이며, 따라서

$f^{-1}([0,a])=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma$

이다. 즉, $f$는 가측 함수가 맞다.

임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $\forall x\in X\colon f_{n}(x)\leq f(x)$이므로,

$\int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu$

이며, 이에 $n\to \infty$을 취하면

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu$

을 얻는다.

이제, $\forall x\in X\colon s(x)\leq f(x)$인 임의의 단순 함수 $s$와 임의의 $0<\alpha <1$을 고정하고, 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여

$A_{n}=\{x\in X\colon \alpha s(x)\leq f_{n}(x)\}\in \Sigma$

라고 하자. 그렇다면, $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots$이며, $\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X$이다. 또한, 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여,

$\alpha \int _{A_{n}}sd\mu \leq \int _{A_{n}}f_{n}d\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu$

이다. $n\to \infty$을 취하면

$\alpha \int _{X}sd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu$

를 얻으며, 다시 $\alpha \to 1$을 취하면

$\int _{X}sd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu$

를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

$\int _{X}fd\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu$

이다.

따름정리

급수에 대한 푸비니 정리

 이 부분의 본문은 푸비니 정리입니다.

단조 수렴 정리를 자연수의 집합 $\mathbb {N}$ 위의 셈측도 공간 $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),|\cdot |)$에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 $(a_{mn})_{m,n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty ]$에 대하여, 다음이 성립한다.^:168

$\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{mn}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{mn}$

절대 연속 측도

 이 부분의 본문은 절대 연속 측도입니다.

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 음이 아닌 가측 함수 $f\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))$에 대하여, 함수

$\nu (A)=\int _{A}fd\mu \qquad (A\in \Sigma )$

는 $(X,\Sigma )$ 위의 측도를 이루며, 또한 이는 $\mu$-절대 연속 측도를 이룬다 (즉, $\mu (A)=0$은 $\nu (A)=0$을 함의한다).

증명:

임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 $A_{0},A_{1},\dots \subseteq \Sigma$에 대하여, 각 $f1_{A_{n}}$은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

$\nu \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}\right)=\int _{X}f1_{\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}d\mu =\int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\nu (A_{n})$

이다. 따라서 $\nu$는 측도이다.

만약 $A\in \Sigma$이며 $\mu (A)=0$이라면, $\mu$-거의 어디서나 $f1_{A}=0$이므로,

$\nu (A)=\int f1_{A}d\mu =0$

이다. 따라서 $\nu$는 $\mu$-절대 연속 측도이다.

같이 보기

• 파투 보조정리
• 지배 수렴 정리

참고 문헌

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크

• “Lebesgue theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Monotone convergence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Monotone convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of monotone convergence theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Monotone convergence theorem (measure theory)”. 《ProofWiki》 (영어).