스킴 이론에서 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역공역닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다. 대수학적으로, 이는 국소적으로 아이디얼에 대한 몫환을 취하는 꼴의 스킴 사상에 해당한다.

정의 편집

스킴  ,   사이의 사상  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다.

  •     사이의 위상 동형이며,  닫힌집합이며,  전사 사상이다.[1]:85 (이는 모든 점  에서 줄기 사상  전사 함수인 것과 동치이다.)
  •   속의 임의의 아핀 열린집합  에 대하여,  가 되는 어떤 아이디얼  가 존재한다.
  •   위의 어떤 한 아핀 열린 덮개  에 대하여,  가 되는 어떤 아이디얼 가 존재한다.
  • 어떤 준연접 아이디얼 층  에 대하여,  이며, 이는 스킴의 동형 사상  을 정의한다. (여기서  상대 사영 스펙트럼이다.)

스킴  닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은   위의 스킴의 범주  에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.[1]:85 즉, 두 닫힌 몰입  ,  에서,  인 동형  이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

성질 편집

함의 관계 편집

모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다).

연산에 대한 닫힘 편집

임의의 세 스킴  ,  ,  스킴 사상

 

가 주어졌다고 하자. 만약  가 닫힌 몰입이며,  분리 사상이라면,   역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

스킴 상 편집

스킴 사상  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  스킴 상(영어: scheme-theoretic image)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 스킴  
  • 닫힌 몰입  . 또한, 어떤 스킴 사상  에 대하여  라고 하자.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 스킴   및 닫힌 몰입   및 스킴 사상  에 대하여, 만약  라면,  인 스킴 사상  이 존재한다.

모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 동형 사상 아래 유일하다.)

특히, 열린 부분 스킴스킴 폐포(영어: scheme-theoretic closure)는 그 포함 사상의 스킴 상이다.

편집

임의의 가환환   및 그 아이디얼  에 대하여, 몫환 준동형  에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상  는 닫힌 몰입이다.

참고 문헌 편집

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크 편집